Question

[Tường Nguyễn Thế]

Tìm tất cả các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau biết rằng: \(\dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{8}{73}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)

Giả sử d là ước nguyên tố chung giữa $x,y$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots p\\ ab\vdots p\Rightarrow a\vdots p \text{ hoặc b}\vdots p\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)

Nếu \(b\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow a\vdots p\)

Vậy có nghĩa là $p$ là ước chung của $a,b$

Mà theo đề bài thì $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên suy ra $p=1$ (vô lý)

Vậy $x,y$ không có ước nguyên tố chung hay $x,y$ nguyên tố cùng nhau.

Khi đó: \(\frac{8}{73}=\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{a+b}{(a+b)^2-3ab}=\frac{x}{x^2-3y}\)

\(\Leftrightarrow 8(x^2-3y)=73x\) $(*)$

\(\Leftrightarrow 8x^2-73x=24y\vdots x\)

Mà \((x,y)=1\Rightarrow 24\vdots x\) (1)

Cũng từ $(*)$ ta suy ra $73x$ chia hết cho $8$, kéo theo $x$ chia hết cho $8$ (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow x\in\left\{8;16;24\right\}\)

TH1: \(x=8\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=-3<0\) (vô lý)

TH2: \(x=16\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=\frac{110}{3}\not\in\mathbb{N}\)

TH3: \(x=24\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=119\)

Khi đó \(a+b=24; ab=119\). Áp dụng định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của PT: \(X^2-24X+119=0\)

\(\Leftrightarrow (a,b)=(17,7)\) và hoán vị (thỏa mãn)