Giúp với mai thi rồi :
Cho a,b,c,d dương . CMR : \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MH
1
NT
Nguyễn thành Đạt
CTVHS
3 tháng 4 2023
Bài làm :
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT (1) ta có :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{c}{d+a}=\dfrac{a^2+ad+bc+c^2}{\left(b+c\right)\left(d+a\right)}\ge\dfrac{4\left(a^2+ad+bc+c^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(2\right)\)
Tương tự : \(\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(b^2+ab+cd+d^2\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\left(3\right)\)
Cộng các về của các BĐT (2) và (3) ta được :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2\left(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ad+2bc+2ab+2cd\right)}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge\dfrac{2[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2]}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2B\)
Ta dễ dàng chứng minh được : \(B\ge1\)
Thật vậy :
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(a+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(d+a\right)^2\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu đằng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow a=c;b=d\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 2 2022
Đặt \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\)
\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{ac+cd}+\dfrac{d^2}{ad+bd}\)
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+2ac+bc+2bd+cd+ad}=\dfrac{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)
\(P\ge\dfrac{4ac+4bd+2ab+2bc+2cd+2ad}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2023
Lời giải:
a.
$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0$
$\Rightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$
$\Rightarrow ad-bc<0$ (do $bd>0$)
$\Rightarrow ad< bc$ (đpcm)
b.
$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}=\frac{ad-bc}{b(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $b(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}$
--------
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2022
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:
\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)
\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)
Do đó:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)
Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
\(VT=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{\left(b+d\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+d\right)}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+d\right)}+\dfrac{\left(d+b\right)^2}{\left(d+a\right)\left(d+b\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c+2d\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\left(b+d\right)+\left(a+c\right)\left(c+d\right)+\left(a+d\right)\left(b+d\right)}=\dfrac{4\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
N
28 tháng 9 2017
Áp dụng cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+e}+\dfrac{d}{e+a}+\dfrac{e}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{cd+ce}+\dfrac{d^2}{ed+ad}+\dfrac{e^2}{ae+be}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de}\)
Giờ chỉ cần chứng minh
\(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de\le\dfrac{2}{5}\left(a+b+c+d+e\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de\le2\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\)
điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM:
\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2};ac\le\dfrac{a^2+c^2}{2};ad\le\dfrac{a^2+d^2}{2}...\)
Cứ vậy ta thu được đpcm .Dấu = xảy ra khi a=b=c=d=e
P/s: : ]
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\)
\(\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+bc+bd+cd+ca+da+db}=\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+cd+2ac+2bd+bc+da}\) (1)
Ta có:
\((a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd+2(a+c)(b+d)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd+2ab+2ad+2bc+2cd\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2+c^2\geq 2ac; b^2+d^2\geq 2bd\)
\(\Rightarrow (a+b+c+d)^2\geq 4ac+4bd+2ab+2ad+2bc+2cd\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c+d)^2\geq 2(ab+cd+2ac+2bd+bc+da)\) (2)
Từ (1); (2) suy ra :
\(\text{VT}\geq \frac{2(ab+cd+2ac+2bd+bc+da)}{ab+cd+2ac+2bd+bc+da}=2\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d\)