Cho tam giác đều ABC cạnh a và điểm M bất kì nằm trong tam giá đó. gọi H, K,T tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BC, CA,AB. Chứng minh rằng MH + Mk + Mt = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 11 2017
Lời giải:
Từ $A$ kẻ đường cao $AD$. Vì $ABC$ là tam giác đều nên $AD$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow BD=\frac{BC}{2}\)
Áp dụng định lý Pitago: \(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Khi đó:
\(S_{ABC}=\frac{AD.BC}{2}=\frac{\sqrt{3}a.a}{4}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}(1)\)
Mặt khác \(S_{ABC}=S_{MAB}+S_{MAC}+S_{MBC}\)
\(=\frac{MT.AB}{2}+\frac{MK.AC}{2}+\frac{MH.BC}{2}\)
\(\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{a(MT+MH+MK)}{2}(2)\)
Từ (1); (2)\(\Rightarrow \frac{a(MT+MH+MK)}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow MH+MK+MT=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Vậy ta có đpcm.
BT
24 tháng 11 2017
\(S_{\Delta ABC}=S_{\Delta MAC}+S_{\Delta MAB}+S_{\Delta MBC}=\dfrac{1}{2}MK.AC+\dfrac{1}{2}MT.AB+\dfrac{1}{2}MH.BC\)
\(=\dfrac{1}{2}a\left(MK+MT+MH\right)\) (do tam giác ABC đều).
Do tam giác ABC đều có cạnh a nên \(S_{\Delta ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Suy ra \(\dfrac{1}{2}a\left(MK+MT+MH\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow MK+MT+MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).
Kẻ đường cao AD nên AD cũng là đường trung tuyến .
Ta có :
\(S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}+S_{BCM}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}S_{ABM}=\dfrac{a.MT}{2}\\S_{ACM}=\dfrac{a.MK}{2}\\S_{BCM}=\dfrac{a.MH}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(S_{ABC}=\dfrac{a\left(MH+MK+MT\right)}{2}\)
Mặt khác :
\(S_{ABC}=\dfrac{a.AD}{2}\)
\(\Rightarrow AD=MK+MH+MT\)
Nên ta cần chứng minh :
\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Ta có :
\(AD=\sqrt{a^2-CD^2}\) ( py - ta - go )
\(\Rightarrow AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Nên :
\(MK+MH+MT=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Sao lại làm dài vậy nhỉ?
a, Hạ đường cao AD của tam giác ABC
Ta có: \(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{AMC}+S_{BMC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD.a}{2}=\dfrac{MI.a}{2}+\dfrac{MK.a}{2}+\dfrac{MH.a}{2}\)
\(\Leftrightarrow AD=MI+MK+MH\) (1)
Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên AD đồng thời là đường trung tuyến
Do đó \(BD=\dfrac{a}{2}\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ta có:
\(AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được: \(MI+MK+MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)(đpcm)