Chứng minh \(4a\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+b^2\ge0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
0
T
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2023
Lời giải:
a.
$f(-1)=a-b+c$
$f(-4)=16a-4b+c$
$\Rightarrow f(-4)-6f(-1)=16a-4b+c-6(a-b+c)=10a+2b-5c=0$
$\Rightarrow f(-4)=6f(-1)$
$\Rightarrow f(-1)f(-4)=f(-1).6f(-1)=6[f(-1)]^2\geq 0$ (đpcm)
b.
$f(-2)=4a-2b+c$
$f(3)=9a+3b+c$
$\Rightarrow f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0$
$\Rightarrow f(-2)=-f(3)$
$\Rightarrow f(-2)f(3)=-[f(3)]^2\leq 0$ (đpcm)
2 tháng 3 2023
a.
�
(
−
1
)
=
�
−
�
+
�
f(−1)=a−b+c
�
(
−
4
)
=
16
�
−
4
�
+
�
f(−4)=16a−4b+c
⇒
�
(
−
4
)
−
6
�
(
−
1
)
=
16
�
−
4
�
+
�
−
6
(
�
−
�
+
�
)
=
10
�
+
2
�
−
5
�
=
0
⇒f(−4)−6f(−1)=16a−4b+c−6(a−b+c)=10a+2b−5c=0
⇒
�
(
−
4
)
=
6
�
(
−
1
)
⇒f(−4)=6f(−1)
⇒
�
(
−
1
)
�
(
−
4
)
=
�
(
−
1
)
.
6
�
(
−
1
)
=
6
[
�
(
−
1
)
]
2
≥
0
⇒f(−1)f(−4)=f(−1).6f(−1)=6[f(−1)]
2
≥0 (đpcm)
b.
�
(
−
2
)
=
4
�
−
2
�
+
�
f(−2)=4a−2b+c
�
(
3
)
=
9
�
+
3
�
+
�
f(3)=9a+3b+c
⇒
�
(
−
2
)
+
�
(
3
)
=
13
�
+
�
+
2
�
=
0
⇒f(−2)+f(3)=13a+b+2c=0
⇒
�
(
−
2
)
=
−
�
(
3
)
⇒f(−2)=−f(3)
⇒
�
(
−
2
)
�
(
3
)
=
−
[
�
(
3
)
]
2
≤
0
⇒f(−2)f(3)=−[f(3)]
2
≤0 (đpcm
27 tháng 1 2020
Sử dụng trường hợp riêng của BĐT Schur. Với a,b,c là các sooa thực ko âm và k>0 ta luôn có :
\(a^k\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^k\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^k\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
27 tháng 1 2020
Anh tth_new ơi,mẹ em bắt em dirichlet ạ :( Mẹ em còn chỉ em bài toán tổng quát là:
Cho a,b,c dương,CMR:\(m\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+3m+2\ge\left(2m+1\right)\left(a+b+c\right)\)
\(BĐT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
Thôi,đi vào giải quyết bài toán.
Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\)
Ta cần chứng minh:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2+\left(c+a-2\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2+2\left(c-1\right)^2\ge0\)
Hình như cái BĐT cuối đúng thì phải ạ.
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
18 tháng 6 2022
\(B=\dfrac{\left(4a^2-1\right)\left(b-c\right)-\left(4b^2-1\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4c^2-1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c-b+c-4ab^2+4b^2c+a-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4a^2c+a-b-4ab^2+4b^2c+4ac^2-4bc^2-a+b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2b-4ab^2-4a^2c+4ac^2-4bc^2+4b^2c}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2\left(b-c\right)+4bc\left(b-c\right)-4a\left(b^2-c^2\right)}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2+4bc-4a\left(b+c\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a^2-4ab+4bc-4ac}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{4a\left(a-b\right)-4c\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}=4\)
7 tháng 12 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)
