Chứng minh rằng \(5^{2n}\)+\(5^n\)+1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 12 2023
Lời giải:
$n$ không chia hết cho $3$ nên $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.
Nếu $n=3k+1$:
$A=5^{2n}+5^n+1=5^{2(3k+1)}+5^{3k+1}+1$
$=5^{6k}.25+5.5^{3k}+1$
Vì $5^3\equiv 1\pmod {31}$
$\Rightarrow A\equiv 1^{2k}.25+5.1^k+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$
$\Rightarrow A\vdots 31$
Nếu $n=3k+2$ thì:
$A=5^{2(3k+2)}+5^{3k+2}+1$
$=5^{6k}.5^4+5^{3k}.5^2+1$
$\equiv 1^{2k}.1.5+1^k.5^2+1\equiv 5+5^2+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$
$\Rightarrow A\vdots 31$
Từ 2 TH suy ra $A\vdots 31$ (đpcm)
19 tháng 8 2019
BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?
Nếu có thì bn xem nhé!
Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn
Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!
16 tháng 7 2021
a) Ta có: \(34^{2005}-34^{2004}\)
\(=17^{2005}\cdot2^{2005}-17^{2004}\cdot2^{2004}⋮17\)
b) Ta có: \(43^{2004}+43^{2005}\)
\(=43^{2004}\left(1+43\right)\)
\(=43^{2004}\cdot44⋮11\)
c) Ta có: \(27^3+9^5=3^9+3^{10}=3^9\left(1+3\right)=3^9\cdot4⋮4\)
D
1
11 tháng 10 2020
Khá dễ khi ta dùng đồng dư !
Vì n không chia hết cho 3 nên ta xét 2 dạng của n \(\hept{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℕ\right)\)
Nếu \(n=3k+1\) thay vào ta được:
\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+2}+5^{3k+1}+1\)
\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^2+\left(5^3\right)^k\cdot5+1\)
\(=125^{2k}\cdot25+125^k\cdot5+1\)
\(\equiv1\cdot25+1\cdot5+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)
=> Thỏa mãn
Nếu \(n=3k+2\) thay vào ta được:
\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+4}+5^{3k+2}+1\)
\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^4+\left(5^3\right)^k\cdot5^2+1\)
\(=125^{2k}\cdot625+125^k\cdot25+1\)
\(\equiv1\cdot5+1\cdot25+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)
=> Thỏa mãn
Vậy với mọi n không chia hết cho 3 thì \(5^{2n}+5^n+1\) chia hết cho 31
MT
17 tháng 6 2015
(3n-5)(2n+1)+7(n-1)=6n2-7n-5+7n-7
=6n2-12
=3(2n-4)
=>(3n-5)(2n+1)+7(n-1) chia hết cho 3, với mọi n
(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4=5n2-17n-12-(5n2+3n-2)
=5n2-17n-12-5n2-3n+2
=-20n-10
=5(-4n-2)
=>(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4 chia hết cho 5, với mọi n
7 tháng 8 2021
Bài 1:
b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)
\(=4n^2-9-4n^2+36n\)
\(=36n-9⋮9\)
TD
2
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
12 tháng 7 2023
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n\)
mà \(-5n⋮5\left(n\in Z\right)\)
⇒đpcm
NN
12 tháng 7 2023
\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=\)
\(=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\)
