cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hbh.Hai điểm M,N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho \(\dfrac{AB}{AM}\) +2\(\dfrac{AD}{AN}\)=4.Kí hiệu V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số...
Đọc tiếp
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hbh.Hai điểm M,N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho \(\dfrac{AB}{AM}\) +2\(\dfrac{AD}{AN}\)=4.Kí hiệu V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số \(\dfrac{V1}{V}\)
Do hai khối chóp trên có chung chiều cao nên ta xét diện tích hai đáy. Xét hình vẽ sau khi tách mặt phẳng chứa đáy ABCD:
Giả sử \(\dfrac{AD}{AN}=k\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=4-2k\), ĐK \(0< k< 2\)
Ta có \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABCD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AM.AN.sin\widehat{A}}{AB.AD.sin\widehat{A}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4-2k}.\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{4k\left(2-k\right)}\)
Ta thấy rằng \(\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{S_{MBCDN}}{S_{ABCD}}=1-\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABCD}}\)
Vậy \(\dfrac{V_1}{V}\) max khi \(\dfrac{1}{4k\left(2-k\right)}\) min
Với 0 < k < 2 thì \(min\dfrac{1}{4k\left(2-k\right)}=\dfrac{1}{4}\) khi k = 1
Vậy \(max\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{3}{4}\) khi AN = AD và M là trung điểm AB.