Cho 3 số dương a,b,c thỏa a+b+c= 3 cmr:
√a +√b+ √c >=a+b+c.
Cho a,b,c>0: a+b+c=1. Chứng minh:
(1+a).(1+b).(1+c)>=8(1-a).(1-b).(1-c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2018
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
9 tháng 6 2018
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
TT
cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 và a+b+c > 1/a + 1/b + 1/. chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1) > 0
0
31 tháng 8 2019
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
NK
1
M
20 tháng 8 2023
Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng phương pháp Chứng minh bằng Quy nạp (Mathematical Induction). Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức này đúng với trường hợp a, b, c không giống nhau. - Giả sử a = b. Khi đó, a = b = (3 - 2a) / 2. Thầy vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta có: abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = a^2c(1+a^2)^2(1+c^2) Đặt x = a^2, y = c. Ta cần chứng minh: xy(1+x)^2(1+y^2) ≤ 8 Từ điều kiện a + b + c = 3, ta có: a + b = 3 - c ab = (a + b) ^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (3 - 2c) = c^2 - 3c + 6 Because a and b are test of method t^2 - (3 - c)t + (c^2 - 3c + 6) = 0 thuộc các nguyên nên theo Định lí Viết a^2 + b^2 = (3 - c)c^2 - 3(c^2 - 3c + 6) = -2c^3 + 9c^2 - 9c + 18 Ta lại có abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^3 + 9c^2 - 9c) Nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Hay (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần, ta có: (x*3)^2 (1 + x)(1 + y) ≤ [(x*3)^2 + (1 + x) + (1 + y)] / 3 = [9x^2 + 2x + 2 + y] / 3 = ( 9x^2 + 2x + 2 + y) / 3 = (9x^2 + y^2 + 2x + 2) / 3 Tiếp tục áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta được: (9x^2 + y^2 + 2x + 2)/3 ≥ 4√[(9x^2)(y^2)(2x)(2)] = 4√[36x^3y^2] = 24xy√x Khi đó, ta cần chứng minh: 24xy√x ≤ 8 <=> 3xy√x ≤ 1 <=> 27x^3y^2 ≤ 1 Từ a + b + c = 3, ta có: (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^ 2 + c^2a + ca^2) + 6abc Thầy a + b + c = 3 và abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^ 3 + 9c^2 - 9c), ta có: 27x^3y^2 ≤ 1 Vì vậy, ta đã chứng minh được khi a=b, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Bước 2: Giả sử a, b, c không giống nhau. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với
8 tháng 1 2022
Từ a+b+c=0 => b+c=-a
Theo đề ra ta có a3 + b3 + c3 = 0
=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0
<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0
<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0
<=> a3 - a3 +3bc = 0
<=> 3bc= 0
<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm)
cho mik điểm nha bạn ơiii
Bài 1. Mình nghĩ đề bài của bạn nhầm ở chỗ dấu "\(\ge\)" , bạn sửa lại thành "\(\le\)" nhé ^^
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(9=3\left(a+b+c\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le9\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le a+b+c\) (vì a+b+c = 3)
Bài 2.
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta biến đổi : \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\)
Tương tự : \(b+1=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)\) ; \(c+1=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\ge2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\left(1\right)\)
Tương tự : \(b+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\left(2\right)\) ; \(c+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\left(3\right)\)
Nhân (1), (2) , (3) theo vế : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\) (đpcm)