Trong mặt phẳng cho góc xOy và một điểm A cố định. Một đường tròn \(\omega\) đi qua O và A cắt tại các tia Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng khi \(\omega\) thay đổi, trung điểm MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
20 tháng 5 2019
Đáp án D
AB và mặt phẳng (Ox, Oy) luôn có điểm chung I
α chứa AB
⇒ I luôn nằm trên giao tuyến của α và (Ox, Oy) (1)
Ta lại có: α thay đổi cắt Ox tại M, Oy tại N
Xét α và (Ox, Oy) có M và N là điểm chung
⇒ MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng (2)
(1);(2): M, N, I thẳng hàng
⇒ MN luôn đi qua I cố định
CM
15 tháng 3 2018
a, Chỉ ra |OI – OK| < IK < OI + OK => (1) và (k) luôn cắt nhau
b, Do OI=NK, OK=IM => OM=ON
Mặt khác OMCN là hình chữ nhật => OMCN là hình vuông
c, Gọi{L} = KB ∩ MC, {P} = IBNC => OKBI là Hình chữ nhật và BNMI là hình vuông
=> ∆BLC = ∆KOI
=> L B C ^ = O K I ^ = B I K ^
mà B I K ^ + I B A ^ = 90 0
L B C ^ + L B I ^ + I B A ^ = 180 0
d, Có OMCN là hình vuông cạnh a cố định
=> C cố định và AB luôn đi qua điểm C
2 tháng 8 2017
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
11 tháng 11 2021
a) Trong tam giác OIK có:
|OK OI| < IK < |OK + OI| hay .
Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OM = OI + IM = OI + OK;
ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra . Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.
Gọi \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo thứ tự là vec tơ chỉ phương đơn vị của các tia Ox, Oy, tương ứng cùng hướng với các tia Ox, Oy gọi I là tâm của \(\omega\). Chọn O làm gốc vec tơ điểm và với mỗi điểm X của mặt phẳng, ký hiệu \(\overrightarrow{x}\) để chỉ vec tơ \(\overrightarrow{OX}\). Trung trực OA cắt các đường thẳng \(d_1,d_2\) theo thứ tự tại B, C.
Khi đó B, C cố định và do I nằm trên đường thẳng BC nên \(\overrightarrow{i}=\alpha\overrightarrow{b}+\left(1-\alpha\right)\overrightarrow{c}\)
Mặt khác , theo định lí chiếu ta có :
\(\overrightarrow{m}=2\left(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n}=2\left(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{v}\right).\overrightarrow{v}\)
Gọi P là trung điểm MN. Suy ra \(2\overrightarrow{p}=\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}\). Bởi vậy, với \(b=OB,c=OC\) và \(t=\cos<\left(\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\right)\) thì b, c, t là các hằng số và :
\(\overrightarrow{p}=\left[\alpha.\overrightarrow{b}\overrightarrow{u}+\left(1-\alpha\right).\overrightarrow{c}.\overrightarrow{u}\right].\overrightarrow{u}+\left[\alpha.\overrightarrow{b}\overrightarrow{v}+\left(1-\alpha\right).\overrightarrow{c}.\overrightarrow{v}\right].\overrightarrow{v}\)
\(=\alpha.b\left(\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\right)+\left(1-\alpha\right).c\left(t\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\)
\(=\alpha\overrightarrow{x}+\left(1-\alpha\right)\overrightarrow{y}\)
Trong đó \(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX}=b\left(\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\right)\) và \(\overrightarrow{y}=\overrightarrow{OY}=c\left(t\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\) là các vec tơ cố định
Suy ra P luôn nằm trên đường thẳng XY cố định khi \(\omega\) thay đổi