Cho x, y là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện \(x^3+y^3+xy=x^2+y^2\). Tìm GTNN và GTLN của
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 8 2021
\(P=\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}=\left(6-\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}\)
\(P=-x+6\sqrt{x}-2z+12z=-\left(\sqrt{x}-3\right)^2-2\left(\sqrt{z}-3\right)^2+27\le27\)
\(P_{max}=27\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(9;0;9\right)\)
1 tháng 12 2021
\(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=xyz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Có : \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+x^2}}\le\frac{1}{2.\sqrt{\frac{x^2y}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+y^2}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{y^2z}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+z^2}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{z^2x}{xyz}}}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}\)
Vậy P max = 3/2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
13 tháng 5 2021
\(x^3+y^3+xy=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=1\\x^2-xy+y^2=0\end{cases}}\)
- \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\).
- \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\).
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}+\frac{2}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+1}+\frac{2}{1+1}=\frac{4}{3}\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=0,y=1\).
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\le\frac{1+\sqrt{x}}{2}+\frac{2+\sqrt{x}}{1}\le\frac{1+1}{2}+\frac{2+1}{1}=4\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=1,y=0\).
6 tháng 4 2016
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)=xy\left(1-x\right)\left(1-y\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1\right)\)
Ta có : \(\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\right)\left(x+y\right)\ge4xy\)
và \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)=1-\left(x+y\right)+xy\le1-2\sqrt{xy}+xy\)
\(\Rightarrow1-2\sqrt{xy}+xy\ge4xy\Leftrightarrow0\) <\(xy\le\frac{1}{9}\)
Dễ chứng minh : \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\le\frac{1}{1+xy};\left(x,y\in\left(0;1\right)\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\right)}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{1+xy}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+xy}}\)
\(3xy-\left(x^2+y^2\right)=xy-\left(x-y\right)^2\le xy\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\sqrt{1+xy}}+xy=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t\), \(\left(t=xy\right)\), (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=\frac{2}{\sqrt{t+1}}+t\) , (0<\(t\le\frac{1}{9}\)
Ta có Max \(f\left(t\right)=f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{6\sqrt{10}}{10}+\frac{1}{9}\), \(t\in\left(0;\frac{1}{9}\right)\)
Theo đề bài, ta có:
\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)
hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)
+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)
+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3