Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1\). Tìm m để hàm số có CĐ, CT sao cho khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT nhỏ nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 6 2021
\(y'=3x^2-6x-m\)
Hàm số có CĐ, CT khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\Delta'=9+3m>0\Rightarrow m>-3\)
Tiến hành chia y cho y' và lấy phần dư ta được phương trình đường thẳng qua CĐ, CT có dạng:
\(y=-\left(\dfrac{2m}{3}+2\right)x-\dfrac{m}{3}+2\)
Do đường thẳng tạo với 2 trục 1 tam giác vuông cân nên có hệ số góc bằng 1 hoặc -1
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-\left(\dfrac{2m}{3}+2\right)=1\\-\left(\dfrac{2m}{3}+2\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{9}{2}< -3\left(loại\right)\\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
MH
19 tháng 12 2023
\(y=\dfrac{x^2+\left(m+2\right)x+3m+2}{x+1}\)
\(\Rightarrow y'=\dfrac{x^2+2x-2m}{\left(x+1\right)^2}\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x-2m=0\text{ có 2 nghiệm phân biệt}\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4+8m>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{2}\\m\ne1\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có:
\(y^2_{CĐ}+y^2_{CT}>\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(y_{CĐ}+y_{CT}\right)^2-2.y_{CĐ}.y_{CT}>\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-2.\left(-2m\right)>\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow4+4m>\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{7}{8}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{2}\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
27 tháng 3 2016
Do \(f'\left(x\right)=x^2-2mx-1=0\)
Có \(\Delta'=m^2+1>0\) nên\(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) với các điểm \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-m\right)f'\left(x\right)-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Do \(f'\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0\) nên
\(y_1=f\left(x_1\right)=-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x_1+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
\(y_2=f\left(x_2\right)=-\frac{2}{3}\left(m^2+1\right)x_2+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Ta có \(AB^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\left(x_2-x_1\right)^2\)
\(=\left[\left(x_2-x_1\right)^2-4x_2x_1\right]\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\)
\(=\left(4m^2+4\right)\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\ge4\left(1+\frac{4}{9}\right)\)
\(\Rightarrow AB\ge\frac{2\sqrt{13}}{3}\)
Vậy Min \(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) xảy ra <=> m=0
