Question

[Bùi Công Tiến Anh]

B1: Cho a,b,c>0; a+b+c=3. CM: a⁵+b⁵+c⁵+1/a+1/b+1/c > hoặc = 6

Answer 1

[Lê Nhật Khôi]

Điểm rơi: a=b=c=1

Xét \(a^5+\frac{1}{a}\ge2a^4\)(dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1) Trùng với điểm rơi cả Bđt nhá

Tương tự: \(b^5+\frac{1}{b}\ge2b^4\)và \(c^5+\frac{1}{c}\ge2c^4\)

Công lại: \(a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)

Cm: bđt phụ sao: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\left(1\right)\)

Có: \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\\a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\end{cases}\Rightarrow\left(1\right)}\)

Vì thế: \(Bđt\ge2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}=2\cdot\frac{3^4}{3^3}=6\)

Answer 2

[Tớ Đông Đặc ATSM]

Theo bất đẳng thức cô-si

a,b,c>0

=> a⁵+1/a \(\ge\)2√(a⁵.1/a)= 2a²

Cmtt => b^5+1/b \(\ge\)2b²

1/c+c^5 \(\ge\)2c²

=> A\(\ge\)2( a²+b²+c²) \(\ge\)2.(a+b+c)²/3    ( do a²+b²+c² \(\ge\)

(a+b+c)²/3 , cai  nanày câu co thE tu cm)

A\(\ge\)2.3²/3= 6(dpcm)