Cho các đa thức:
A(x) = 5x - 2x4 + x3- 5 + x2
B(x) = -x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x
C(x) = x + x3 - 2
a) Tính A(x) + B(x); A(x) - B(x) + C(x); B(x) - C(x) - A(x); C(x) - A(x) - B(x)
b) Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) nhưng không phải là nghiệm của đa thức B(x)
a) Tính:
A(x) + B(x) = (5x - 2x4 + x3 - 5 + x2) + (-x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x)
= 5x - 2x4 + x3 - 5 + x2 + -x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x
= (5x - 6x) + (-2x4 - x4) + (x3 - 3x3) + (-5 + 7) + (x2 + 4x2)
= -x - x4 - 2x3 + 2 + 5x2
A(x) - B(x) + C(x) = (5x - 2x4 + x3 - 5x + x2) - (-x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x) + (x + x3 - 2)
= 5x - 2x4 + x3 - 5 + x2 - -x4 - 4x2 + 3x3 - 7 + 6x + x + x3 - 2
= (5x + 6x + x) + [-2x4 + (-x4)] + (x3 + 3x3 + x3) + (x2 - 4x2) + (-5 - 7 - 2)
= 12x - 3x4 + 5x3 - 3x2 - 14
B(x) - C(x) - A(x) = (-x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x) - (x + x3 - 2) - (5x - 2x4 + x3 - 5 + x2)
= -x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x - x - x3 + 2 - 5x + 2x4 - x3 + 5 - x2
= (-x4 + 2x4) + (4x2 - x2) + (-3x3 - x3 - x3) + (7 + 2 + 5) + (6x - x - 5x)
= x4 + 3x2 - x3 + 14
C(x) - A(x) - B(x) = (x + x3 - 2) - (5x - 2x4 + x3 - 5 + x2) - (-x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x)
= x + x3 - 2 - 5x + 2x4 - x3 + 5 - x2 - -x4 - 4x2 + 3x3 - 7 - 6x
= (x - 5x - 6x) + (x3 - x3 + 3x3) + (-2 + 5 - 7) + (5x - 6x) + (-x2 - 4x2)
= -10x + 3x3 - 4 - x - 5
Với x=1 thì đa thức A(x) có giá trị là:\(5\cdot1-2\cdot\left(1\right)^4+1^3-5+1^2\)
\(=5-2+1-5+1=0\)
=> x=1 là nghiệm.
Với x=1 thì đa thức B(x) có giá trị là:\(-\left(1\right)^4+4\cdot1^2-3\cdot1^3+7-6\cdot1\)
\(=-1+4-3+7-6=1\)
=> x=1 không phải là nghiệm.
Suy ra điều cần chứng minh