Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\) \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)
AD BĐT AM - GM ta được : \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)
( đpcm )
Xét \(VT=a+2b+c=1+b\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(1-a+1-c\right)^2=\left(2-a-c\right)^2=\left(1+a+b+c-a-c\right)^2=\left(1+b\right)^2\left(2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\)
Mà \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2-\left(1-b\right)=\left(1+b\right)\left(1-b^2-1\right)=-b^2\left(1+b\right)\le0,\forall b\ge0\)
Do đó \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\le1+b\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta có ĐPCM
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 1.
Chọn B.
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a ( 1 − a ) ≥ 0 b ( 1 − b ) ≥ 0 c ( 1 − c ) ≥ 0 ⇒ a ≥ a 2 b ≥ b 2 c ≥ c 2 ⇒ 5 a + 4 ≥ a 2 + 4 a + 4 = ( a + 2 ) 2 = a + 2 T ư ơ n g t ự : 5 b + 4 ≥ b + 2 ; 5 c + 4 ≥ c + 2 ⇒ 5 a + 4 + 5 b + 4 + 5 c + 4 ≥ ( a + b + c ) + 6 = 7 ( đ p c m )
Ta có \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
Mà \(abc\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\) (AM-GM)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\frac{9}{8}\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)^3\le\frac{81}{64}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=1\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có
\(1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)\(=8abc\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
mặt khác: \(1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\left(\frac{2a+2b+2c}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1+abc}{a+b+c}\le\frac{1+\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}\)
\(VT\leΣ\frac{1}{a^2+b^2+1}\le\frac{a^2+b^2+c^2+6}{\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{\left(Σa\right)^2}{\left(Σa\right)^2}=1=VP\)
Nhân vế với vế của giả thiết:
\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{c}+1\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)
\(\Leftrightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c=\dfrac{28}{3}\) (1)
Cộng vế với vế giả thiết:
\(\Rightarrow a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4+1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{22}{3}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{22}{3}=\dfrac{28}{3}\)
\(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}=2\)
\(\Rightarrow\left(abc\right)^2-2\left(abc\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\left(abc-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow abc=1\)
Đáp án B