Question

[Trịnh Thảo Uyên]

cho tam giác ABC. Lấy I là điểm chính giữa của AC, điểm M trên cạnh BC sao cho BM=1/5 BC. Các đoạn AM,BI cắt nhau tại N, nối N với C, nối M với I. Biết AM = 18cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

hai tg ABM và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow S_{ABM}=\dfrac{1}{5}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{ACM}=S_{ABC}-S_{ABM}=S_{ABC}-\dfrac{1}{5}xS_{ABC}=\dfrac{4}{5}xS_{ABC}\)

Hai tg AMI và tg ACM có chung đường cao từ M->AC nên

\(\dfrac{S_{AMI}}{S_{ACM}}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMI}=\dfrac{1}{2}xS_{ACM}=\dfrac{1}{2}x\dfrac{4}{5}xS_{ABC}=\dfrac{2}{5}xS_{ABC}\)

Hai tg ABM và tg AMI có chung AM nên

\(\dfrac{S_{ABM}}{S_{AMI}}=\) đường cao từ B->AM / đường cao từ I->AM =\(\dfrac{1}{5}xS_{ABC}:\dfrac{2}{5}xS_{ABC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMI}=2xS_{ABM}=2x\dfrac{1}{5}xS_{ABC}=\dfrac{2}{5}xS_{ABC}\)

Hai tg BCI và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{BCI}}{S_{ABC}}=\dfrac{CI}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{BCI}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

Hai tg BMI và tg BCI có chung đường cao từ I->BC nên

\(\dfrac{S_{BMI}}{S_{BCI}}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow S_{BMI}=\dfrac{1}{5}xS_{BCI}=\dfrac{1}{5}x\dfrac{1}{2}xS_{ABC}=\dfrac{1}{10}xS_{ABC}\)

Hai tg BMN và tg IMN có chung MN nên

\(\dfrac{S_{BMN}}{S_{IMN}}=\)đường cao từ B->AM / đường cao từ I->AM\(=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S_{IMN}=\dfrac{2}{3}xS_{BMI}=\dfrac{2}{3}x\dfrac{1}{10}xS_{ABC}=\dfrac{1}{15}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{IMN}}{S_{AMI}}=\dfrac{1}{15}xS_{ABC}:\dfrac{2}{5}xS_{ABC}=\dfrac{1}{6}\)

Hai tg IMN và tg AMI có chung đường cao từ I->AM  nên 

\(\dfrac{S_{IMN}}{S_{AMI}}=\dfrac{MN}{AM}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow MN=\dfrac{1}{6}xAM=\dfrac{1}{6}x18=3cm\)