Question

[Đỗ Thị Hằng]

cho P(x) la mot da thuc bac 6, cho P(1)=P(-1);P(2)=P(-2);P(3)=P(-3). chung minh P(x)=P(-x) voi moi x thuoc R

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

Biểu diễn đa thức bậc 6 P(x) dưới dạng tổng quát: \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

Từ P(1) = P(-1) => \(a_5+a_3+a_1=-\left(a_5+a_3+a_1\right)\Rightarrow a_5+a_3+a_1=0\)(1)

Từ P(2) = P(-2)=> \(2^5a_5+2^3a_3+2a_1=-\left(2^5a_5+2^3a_3+2a_1\right)\Rightarrow2^4a_5+2^2a_3+a_1=0\)(2)

Từ P(3) = P(-3)=> \(3^5a_5+3^3a_3+3a_1=-\left(3^5a_5+3^3a_3+3a_1\right)\Rightarrow3^4a_5+3^2a_3+a_1=0\)(3)

(2) - (1) => \(15a_5+3a_3=0\Rightarrow5a_5+a_3=0\)(2')

(3) - (1) => \(80a_5+8a_3=0\Rightarrow10a_5+a_3=0\)(3')

(3') - (2') => \(5a_5=0\Rightarrow a_5=0\). Từ (2') \(\Rightarrow a_3=0\). Từ (1)  \(\Rightarrow a_1=0\)

Đa thức P(x) trở thành:  \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_0\)

và: \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_0=a_6\left(-x\right)^6+a_4\left(-x\right)^4+a_2\left(-x\right)^2+a_0=P\left(-x\right)\forall x\in R\)(ĐPCM)