![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét các trường hợp :
- Với n $\ge$≥ 2 thì 2n chia hết cho 4 => 2n + 15 = 2n + 4 . 3 + 3 chia 4 dư 3 (sai vì số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1) , loại
- Với n =1 => 2n + 15= 17, loại
- Với n = 0 => 2n + 15=16 , chọn
Vậy n = 0 là thỏa mãn điều kiện để 2n + 15 là số chính phương.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cao Chi Hieu
Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1, số chính phương chia 4 dư 1 là số chính phương lẻ.
Do 2 là số chẵn => 2^n là số chắn
=> 2^n + 5 là số lẻ.
Đặt 2^n + 5 = a² (a là số tự nhiên) => a là số lẻ ( a² chắc chắn > 2^n)
=> a² chia 4 dư 1 => 3^n + 4 chia 4 dư 1.
+ Với n lẻ => 2^n + 5
= 3^n + 1 + 3
= 3^n + 1^n + 3
= (3 + 1)( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3
= 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3
= Do 4 chia hết cho 4
=> 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) chia hết cho 4
=> 4( 3^(n - 1) - 3^(n - 2) + ... + 1 ) + 3 chia 4 dư 3
=> 3^n + 4 chia 4 dư 3
a² chia 4 dư 3 nhưng số chính phương chia cho 4 không dư 3
=> không tồn tại số tự nhiên n lẻ để 3^n + 4 là số chính phương (*)
+ Với n chẵn => n = 2k (k là số tự nhiên)
=> 3^n + 4 = a²
<=> 3^(2k) + 4 = a²
<=> (3^k)² + 4 = a²
<=> a² - (3^k)² = 4
<=> (a + 3^k)(a - 3^k) = 4
=> a + 3^k và a - 3^k là các ước tự nhiên của 4
Ta có ước tự nhiên của 4 là các số: 1;2;4 Kết hợp với điều kiện a + 3^k > a - 3^k => ta có:
a + 3^k = 4 (1) và a - 3^k = 1 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: (a + 3^k) + (a - 3^k) = 4 + 1
<=> a + 3^k + a - 3^k = 5
<=> 2a = 5
=> a = 2,5 loại vì không thỏa mãn điều kiện a là số tự nhiên
=> Không có giá trị n chẵn nào làm 3^n + 4 là số chính phương (*)(*)
Từ (*) và (*)(*) => Không có giá trị nào của n để 3^n + 4 là số chính phương.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
CM định lý nhỏ Fermat:
Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta thấy \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 STN nhỏ
=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 5
Mà \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 5
=> \(n^5-n\) chia hết cho 5
=> \(n^5-n+2\) chia 5 dư 2, mà không tồn tại SCP nào chia 5 dư 2
=> \(n^5-n+2\) không là số chính phương với mọi số nguyên n
Xét biểu thức \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)Dễ thấy \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 5 suy ra \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮10\)(*)
\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2 suy ra \(5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮10\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮10\)nên \(n^5-n\) có tận cùng bằng 0
Do đó \(n^5-n+2\)tận cùng bằng 2 mà số chính phương không tận cùng bằng 2 nên không tồn tại n để \(n^5-n+2\)là số chính phương
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
+)Đặt A = n4+8n3+17n2+4n+6
=> A= (n2+4n)2+(n+2)2+2>0
=> A> (n2+4n)2
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n2+4n+1)2-A
=n4+16n2+1+8n3+2n2+8n-n4-8n3-17n2-4n-6
=n2+4n-5
=(n+2)2-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n2+4n)2+(n+2)2+2= n2(n+4)2+(n+2)2+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)2-9=0
=>B=0 và A=(n2+4n+1)2
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n2+4n)<A<(n2+4n+1)2
=> không tồn tại số chính phương A
Vậy để n4 + 8n3 + 17n2 + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với \(n=1\) thì \(A=2\) không là SCP.
Với \(n=2\) thì \(B=32\) không là SCP.
Với \(n>2\) thì ta có \(A=n^2-n+2< n^2\) và \(A=n^2-n+2>n^2-2n+1=\left(n-1\right)^2\).
Do đó \(\left(n-1\right)^2< A< n^2\) nên A không thể là số chính phương.
Vậy, không tồn tại số nguyên dương \(n\) nào thỏa ycbt.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi hayHỌC BÀIKIỂM TRALUYỆN TẬPChưa trả lờiHỌC BÀICâu hỏi tôi quan tâmCâu hỏi của bạn bèGửi câu hỏiTrang đầu
n+15= a^2
n-75 = b^2 ( a>b)
a^2-b^2 = 90
( a-b)(a+b ) = 90