Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
\(=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)
\(=\left(3^n.10\right)-\left(2^n.5\right)=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.10\right)\)
\(=\left(3^n-2^{n-1}\right).10⋮10\)
Tương tự nhé
\(CMR:\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)
ta có
\(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n+\left(n+1-k\right)}< \frac{3}{2n}\)
\(\Leftrightarrow3k^2< 3nk+n+3k\)luôn đúng zới zới k=1,2,...,n
zới \(k=1,=>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)
\(zới\left(k=2,=>\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\right)\)
zới \(k=n,=>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)
cộng theo từng zế của bất đẳng thức trên ta đc
\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+1n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+..+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)
\(=>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\left(dpcm\right)\)
\(A=\sqrt[]{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+...+3+2+1}\)
Ta có :
\(1+2+3+...+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)+...+3+2+1=\left[\left(n-1\right)-1\right]+1\left(n-1+1\right):2\)
\(=\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}.2+n}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\left(n-1\right)n+n}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2-n+n}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2}\)
\(\Rightarrow A=n\left(n>0\right)\)
\(\Rightarrow dpcm\)
a/ \(\frac{1}{n\left(n-1\right)\left(n+1\right)}=\frac{1}{n^3-n}>\frac{1}{n^3}\)
b/ \(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{n^3+3n^2+2n}< \frac{1}{n^3}\)
c/ Ap dụng câu b ta được
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{2006^3}>\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{2006.2007.2008}\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2006.2007}-\frac{1}{2007.2008}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{2007.2008}\right)>\frac{1}{12}>\frac{1}{15}\)