Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)
\(=3^n.27+3^n.3+2^n.8+2^n.4\)
\(=3^n\left(27+3\right)+2^n\left(8+4\right)\)
\(=3^n.30+2^n.12⋮6\left(dpcm\right)\)
\(3^{n+1}-2^{n+2}+3^n-2^n\)
\(=3^n\cdot10-2^n\cdot5\)
\(=3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10⋮10\)
Ta co
\(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n=3^n.3^2-2^n.2^4+3^n+2^n=3^n.\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^4-1\right)=3^n.10-2^n.15=5.\left(3^n.2-2^n.3\right)=5.2.3.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)=30.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)\)
Vì 30 chia hêt cho 30 nên 30.(\(3^{n-1}-2^{n-1}\)) chia hêt cho 30
Hay \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\) chia hêt cho 30
Với mọi số tự nhiên n ta có:
\(3^{n+1}+3^{n+2}+3^{n+3}=3^{n+1}\left(1+3+3^2\right)=3^{n+1}.13⋮13\)
Vậy \(3^{n+1}+3^{n+2}+3^{n+3}⋮13\)
Có:\(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)=\left(3^n.3^2-2^n.2^{^4}+3^n+2^n\right)=3^n\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^4-1\right)=3^n.10-2^n.15\)Vì 30 chia hết cho 10 nên \(3^n.10\) cũng chia hết cho 10
Vì 30 chia hết cho 15 nên \(2^n.15\) cũng chia hết cho 15
Từ 2 điều nêu trên ta suy ra: \(\left(3^n.10-2^n.30\right)\) chia hết cho 30
Vậy: \(\left(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\right)\)chia hết cho 30 (ĐPCM)
