Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
20 số nguyên liên tiếp có 6 số chia hết cho 3
→ tổng 20 số chính phương liên tiếp có 6 số chia hết cho 3 và 14 số chia 3 dư 1
→ tổng 20 số chính phương liên tiếp chia 3 dư 2
20 số nguyên liên tiếp có 6 số chia hết cho 3
→ tổng 20 số chính phương liên tiếp có 6 số chia hết cho 3 và 14 số chia 3 dư 1
→ tổng 20 số chính phương liên tiếp chia 3 dư 2
Gọi 4 số đó là a , (a+1) , (a + 2) , (a + 3)
Do là 4 số tự nhiên liên tiếp nên buộc chúng phải là số chẵn
Đặt \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=t^2\)
Ta có
\(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2=4a^2+12a+14=4\left(a^2+3a+3\right)+2\)
Nhận thấy \(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2\equiv2\left(mod4\right)\)
Mặt khác , \(t^2\equiv0\left(mod4\right)\)
=> Vô lý
Vậy tổng bình phương 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương
Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:
\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.
Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)
Theo đề ta có :
\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)
\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow dpcm\)
