K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 3 2021

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

11 tháng 3 2022

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua A và không đi qua O, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt MN (M nằm giữa A và N). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (BC là hai tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt AO tại H. Gọi I là trung điểm của MN. Đường thẳng OI cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh AHIE là tứ giác nội tiếp.

 

 

 theo gt, ta co: 

 là trung điểm của MN

3 tháng 11 2018

a, Chú ý:  A M O ^ = A I O ^ = A N O ^ = 90 0

b,  A M B ^ = M C B ^ = 1 2 s đ M B ⏜

=> DAMB ~ DACM (g.g)

=> Đpcm

c, AMIN nội tiếp => A M N ^ = A I N ^

BE//AM => A M N ^ = B E N ^

=>   B E N ^ = A I N ^ => Tứ giác BEIN nội tiếp =>  B I E ^ = B N M ^

Chứng minh được:  B I E ^ = B C M ^ => IE//CM

d, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MI

Gọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = 1 2 AO

Từ G kẻ GG'//IK (G' Î MK)

=>  G G ' I K = M G M I = M G ' M K = 2 3 I K = 1 3 A O  không đổi   (1)

MG' =  2 3 MK => G' cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G'; 1 3 AO)

12 tháng 8 2018

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có M B O ^ = 90 0 ,   M A O ^ = 90 0  (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra:  M A O ^ + M B O ^ = 180 0 .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN2 = NF. NA và MN = NH

Ta có A E / / M O ⇒ A E M ^ = E M N ^   mà   A E M ^ = M A F ^ ⇒ E M N ^ = M A F ^

Δ N M F   v à   Δ N A M có:  M N A ^ chung;  E M N ^ = M A F ^

nên  Δ N M F đồng dạng với  Δ N A M

⇒ N M N F = N A N M ⇒ N M 2 = N F . N A        1

Mặt khác có: A B F ^ = A E F ^ ⇒ A B F ^ = E M N   ^ h a y   H B F ^ = F M H ^  

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

⇒ F H M ^ = F B M ^ = F A B ^   h a y   F H N ^ = N A H ^

Xét Δ N H F   &   Δ N A H   c ó   A N H   ^ c h u n g ;   N H F ^ = N A H ^

=> Δ N M F đồng dạng  Δ N A H ⇒ ⇒ N H N F = N A N H ⇒ N H 2 = N F . N A        2  

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh:  H B 2 H F 2 − EF M F = 1 .

Xét Δ M AF  và Δ M E A  có: A M E ^  chung, M A F ^ = M E A ^

suy ra  Δ M AF  đồng dạng với  Δ M E A

⇒ M E M A = M A M F = A E A F ⇒ M E M F = A E 2 A F 2      (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp ⇒ M F B ^ = M H B ^ = 90 0 ⇒ B F E ^ = 90 0 A F H ^ = A H N ^ = 90 0 ⇒ A F E ^   = B F H ^  

Δ A E F  và Δ H B F  có: E F A ^ = B F H ^   ;   F E A ^ = F B A ^

suy ra  Δ A E F   ~   Δ H B F  

⇒ A E A F = H B H F ⇒ A E 2 A F 2 = H B 2 H F 2                (4)

 

Từ (3) và (4) ta có M E M F = H B 2 H F 2 ⇔ M F + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ 1 + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ H B 2 H F 2 − F E M F = 1