Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT BSC:
\(F=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(maxF=1\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
Ta có: \(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Mà ta lại có: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)
\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Do đó:
\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)
\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Có: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100
=> x+y+z < 100/8 < 13
Ta lại có: x+y+z>11 nên 11< x+y+z < 13, nhưng x+y+z \(\in\)Z => x+y+z = 12
Ta có hệ: x+y+z = 12 (1)
=>8x+8y+8z=96 (2);
8x+9y+10z = 100 (3).
Trừ (3) cho (1),ta được:
y+2z = 4 (4)
Từ (4) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y+2z > 4,mâu thuẫn)
Với z = 1, thay vào (3), ta được:
\(y+2.1=4\Leftrightarrow y=4-2=2\)
Thay y = 2, z = 1 vào (1), ta được:
\(x+2+1=12\Leftrightarrow x=12-3=9\)
Vậy x = 9, y = 2, z = 1
Ta có:8x+8y+18z<8x+9y+10z=100\(\Rightarrow\)x+y+z<100/8<13
cùng với giả thiết ta có:11<x+y+z<13 nhưng x+y+z\(\in\)Z\(\Rightarrow\)x+y+z=12
Ta có:x+y+z=12(1);8x+9y+10z=100(2)
Nhân 2 vế của(1) với 8 rồi trừ vế của (2) cho (1) ta được y+2z=4(3)
Từ (3) suy ra z=1
Với z=1 ta được y=2;x=9
Vậy x=9;y=2;z=1