Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(VT\le\frac{xyz\left(\sqrt{3}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\le\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^3}}\le\frac{xyz\left(1+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{27\left(xyz\right)^2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z.
anh ấy có sử dụng BĐT AM-GM hay mincopski or bunhiacopski ko ta(nhìn vào bài suy nghĩ phức tạp quá).
Đặt \(x=\frac{2a}{b+c};y=\frac{2b}{c+a};z=\frac{2c}{a+b}\) Thì bài toán thành chứng minh
\(3\left(\sqrt{\frac{a+b}{2c}}+\sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt{\frac{c+a}{2b}}\right)^2\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng holder ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{a+b}{2c}}+\sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt{\frac{c+a}{2b}}\right)^2\left(2c\left(a+b\right)^2+2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2\right)\)
\(\ge\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3=8\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow VT\ge3.\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2}\)
Từ đây ta cần chứng minh:
\(3.\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Leftrightarrow2a\left(b+c\right)^2+2b\left(c+a\right)^2+2c\left(a+b\right)^2\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy có ĐPCM
A
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)
\(x\sqrt{5-4x^2}\le\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+5}{2}\)
Khi đó
\(A\le3x+\frac{-3x^2+5}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}=\frac{-3\left(x-1\right)^2}{2}+4\le4\)
MaxA=4 khi \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\x^2=5-4x^2\\x=1\end{cases}\Rightarrow}x=1\)
B
Áp dụng BĐT cosi ta có :
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
=> \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(B\le\frac{xyz.\left(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xyz.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(xy+yz+xz\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lại có \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\); \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
=> \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}.xyz\)
=> \(B\le\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)
\(MaxB=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)khi x=y=z