Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(A=\left(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\left(\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{(y-z)(z-x)}-\frac{x}{(y-z)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x(x-y)+x(z-x)+y(y-z)+y(x-y)+z(z-x)+z(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x^2+xz+y^2+xy+z^2+zy-(xy+x^2+yz+y^2+zx+z^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0-\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0\)
ta có: xy+yz+zx=1
=> \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
c/m tương tự ta đc: \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
thay vào A ta đc:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\)\(\Rightarrow A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A=2\) vì xy+yz+zx=1
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24
mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
1/
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\y-2=0\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=-3\end{matrix}\right.\)
2/ \(P=\sqrt{\left(5x-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-5x\right)^2}\)
\(P=\left|5x-2\right|+\left|3-5x\right|\ge\left|5x-2+3-5x\right|=1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(\frac{2}{5}\le x\le\frac{3}{5}\)
3/ ĐKXĐ: \(\left|x\right|\ge1\)
\(x^2-1-\sqrt{x^2-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-1}=0\\\sqrt{x^2-1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\x^2-1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)
không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)
Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z
vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)
\(\Rightarrow A\le6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các hoán vị
