Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề sai. Giả sử tam giác là tam giác đều thì ta có:
\(tan\left(30\right)+tan\left(30\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}>\frac{\sqrt{3}}{3}=tan\left(30\right)\)
Nếu nó đều thì bất đẳng thức bị sai là sao dùng bất đẳng thức đó để chứng minh nó đều được.
Sửa đề:
\(\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\le2tan\frac{C}{2}\left(1\right)\\cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}\le2cot\frac{C}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\le\frac{2}{tan\frac{C}{2}}\le\frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\right)^2\le4tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}-tan\frac{B}{2}\right)^2\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(tan\frac{A}{2}=tan\frac{B}{2}\)
\(\Rightarrow A=B\)
Thế lại hệ ban đầu ta được
\(\hept{\begin{cases}2tan\frac{A}{2}\le2tan\frac{C}{2}\\2cot\frac{A}{2}\le2cot\frac{C}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}\le tan\frac{C}{2}\\tan\frac{A}{2}\ge tan\frac{C}{2}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi \(A=C\)
Vậy ta có được \(A=B=C\) nên tam giác ABC là tam giác đều.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tự chứng minh từng cái này rồi suy ra cái đó nhé b.
Ta có: \(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}\)
Tương tự ta suy ra:
\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}+3sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\left(1\right)\)
Tiếp theo chứng minh:
\(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{cosA+cosB+cosC-1}{2}\left(2\right)\)
\(sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}-\frac{cosA+cosB+cosC}{2}\left(3\right)\)
\(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy được điều phải chứng minh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Do AM là trung tuyến nên BM = MC
Ta có : \(HC-HB-2HM\)
\(=HM+MC-HB-HM-HM\)
\(=MC-HB-HM\)
\(=MC-\left(HB+HM\right)\)
\(=MC-MB=0\)
\(\Rightarrow HC-HB=2MC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta AHM\)có \(\tan a=\frac{HM}{AH}\)
Xét \(\Delta AHC\)có \(\cot C=\frac{HC}{AH}\)
Xét \(\Delta AHB\)có \(\cot B=\frac{HB}{AH}\)
Ta có : \(\frac{\cot C-\cot B}{2}=\left(\frac{HC}{AH}-\frac{HB}{AH}\right)\div2=\frac{HC-HB}{AH}\div2\)
Mà \(HC-HB=2HM\)( câu a )
\(\Rightarrow\frac{\cot C-\cot B}{2}=\frac{2HM}{AH}\div2=\frac{HM}{AH}=\tan a\left(đpcm\right)\)
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)