K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
4 tháng 6 2021
/\(2020\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)ápdụngBDT\)
\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2}\ge\dfrac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{9}{2\cdot2020}\)
\(ápdụngBĐTcosi\)
\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\)=> VP\(\ge\) 9/2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2021
Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:
$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
(theo BĐT AM-GM)
$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$
ND
1
4 tháng 10 2023
Do 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸3\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[3\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải tồn tại 1 số chia hết cho 3.
Tương tự, một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸4\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[4\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải có 1 số chia hết cho 4.
Từ 2 điều trên, kết hợp với \(\left(4,3\right)=1\), thu được \(xy⋮3.4=12\). Ta có đpcm.
NT
0
NT
0
NT
0
CM
14 tháng 2 2017
Ta có:
P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )
Đặt: 1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )
Tương tự: b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )
Từ (1); (2); (3) ta có P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 3 h a y x = y = z = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3 2
26 tháng 9 2016
Ta có 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = (xy + x2) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)
=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)
26 tháng 9 2016
Tương tự như vậy thì ta có
A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2
Vậy phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (0;0;0)
vì 2xyz chẵn => X^2+y^2+z^2 chẵn
2TH
TH1: giả sử x chẵn,y,z đều lẻ thì
x=2a,y=2b+1,z=2c+1
thay vào phương trình đã cho thì được VT lẻ , VP chẵn nên mẫu thuẫn
TH2: 3 số đều chẵn
x=2a,y=2b,z=2c
=> 4(a^2+b^2+c^2)=16abc
=> a^2+b^2+c^2=4abc
cứ như thế,pt lùi vô hạn, nghiệm bằng 0
x=y=z=0