Question

[Khánh Ngân]

Giúp mình bài 2b với bài 3 với ạ

Answer 1

[Lê Thị Thục Hiền]

2b)

Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(1+1\right)\left(x^4+y^4\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{4}\Leftrightarrow x^4+y^4\ge\dfrac{1}{8}.\left(x+y\right)^4\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y

3)

Áp dụng bđt Holder có:

\(\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Answer 2

[Lê Thị Thục Hiền]

3)(Nếu không dùng Holder)

Với x,y,z >0, ta có bđt sau:\(2x^3+2y^3+2z^3\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\) (1)

Thật vậy (1)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\left(y^2-yz+z^2\right)-yz\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\left(z^2-zx+x^2\right)-zx\left(x+z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2+\left(y+z\right)\left(y-z\right)^2+\left(z+x\right)\left(z-x\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng AM-GM có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge2xyz\) (2)

Từ (1) và (2), cộng vế với vế \(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(x+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)^3\) (đpcm)