Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải thích các bước giải:
sin 2x=cos xsin 2x=cos x
⇔sin 2x=sin (π2−x)⇔sin 2x=sin (π2-x)
⇔⇔ ⎡⎢⎣2x=π2−x+k2π (k∈Z)2x=π−π2+x+k2π (k∈Z)[2x=π2−x+k2π (k∈Z)2x=π−π2+x+k2π (k∈Z)
⇔⇔ ⎡⎢⎣3x=π2+k2π (k∈Z)x=π2+k2π (k∈Z)[3x=π2+k2π (k∈Z)x=π2+k2π (k∈Z)
⇔⇔ ⎡⎢ ⎢⎣x=π6+k2π3 (k∈Z)x=π2+k2π (k∈Z)[x=π6+k2π3 (k∈Z)x=π2+k2π (k∈Z)
Vậy S={π6+k2π3 (k∈Z),π2+k2π (k∈Z)
a/ \(y=sin2x+\left(\sqrt{3}+1\right)cos2x+sin^2x-cos^2x-1\)
\(=sin2x+\sqrt{3}cos2x-1=2sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1\)
Do \(-1\le sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le1\Rightarrow-3\le y\le1\)
b/ \(y=2sin^2x-2cos^2x-3sinx.cosx-1\)
\(=-2cos2x-\frac{3}{2}sin2x-1=-\frac{5}{2}\left(\frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx\right)-1\)
\(=-\frac{5}{2}sin\left(x+a\right)-1\Rightarrow-\frac{7}{2}\le y\le\frac{3}{2}\)
c/ \(y=1-sin2x+2cos2x+\frac{3}{2}sin2x=\frac{1}{2}sin2x+2cos2x+1\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{17}}sin2x+\frac{4}{\sqrt{17}}cos2x\right)+1=\frac{\sqrt{17}}{2}sin\left(2x+a\right)+1\)
\(\Rightarrow-\frac{\sqrt{17}}{2}+1\le y\le\frac{\sqrt{17}}{2}+1\)
Lời giải:
$m^2=(\sin x+\cos x)^2=\sin ^2x+\cos ^2x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x$
$\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{m^2-1}{2}$
Ta có:
$|\sin ^3x-\cos ^3x|=|\sin x-\cos x||\sin ^2x+\sin x\cos x+\cos ^2x|$
$=\sqrt{(\sin x-\cos x)^2}|1+\sin x\cos x|$
$=\sqrt{1-2\sin x\cos x}.|1+\sin x\cos x|$
$=\sqrt{1-(m^2-1)}.|1+\frac{m^2-1}{2}|$
$=\sqrt{2-m^2}.\frac{m^2+1}{2}$
\(sinx+cosx=m\\ \Rightarrow sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx=m^2\\ \Rightarrow sinx.cosx=\dfrac{1-m^2}{2}\)
Mặt khác:
\(sinx-cosx=\left(sinx+cosx\right)-2cosx=m-2cosx\)
Có:
\(\left|sin^3x-cos^3x\right|=\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sin^2x+sinx.cosx+cos^2x\right)\right|\\ =\left|\left(m-2cosx\right)\left(1+\dfrac{1-m^2}{2}\right)\right|\\ =\left|\left(m-2cosx\right)\left(\dfrac{3-m^2}{2}\right)\right|\)
Như vậy sẽ có rất nhiều trường hợp thiếu nghiệm, đó là khi \(a=d\) (mất 1/2 số điểm đó em)
Ví dụ: giải phương trình
\(2sin^2x+3sinx.cosx+cos^2x=2\)
Trường hợp này ko xét \(cosx=0\) là mất nửa số điểm rồi (mất hẳn 1 họ nghiệm)
1, \(sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
⇔ \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
⇔ \(sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)=sin\dfrac{\pi}{4}\)
2, \(\left(\sqrt{3}-1\right)sinx+\left(\sqrt{3}+1\right)cosx=1-\sqrt{3}\)
⇔ \(\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{2}}sinx+\dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)}{2\sqrt{2}}cosx=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
⇔ sinx . si
\(\Leftrightarrow2-6sinx.cosx-2sinx+2cosx+2cos^2x=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(1-2sinx.cosx\right)-2\left(sinx-cosx\right)+cos^2x-sin^2x=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(sinx-cosx\right)^2-2\left(sinx-cosx\right)-\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx-2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\sinx-2cosx=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1) \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{5}}sinx-\frac{2}{\sqrt{5}}cosx=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Đặt \(\frac{1}{\sqrt{5}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow sinx.cosa-cosx.sina=cosa\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-a\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-a=\frac{\pi}{2}-a+k2\pi\\x-a=a+\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=2a+\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)