Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)
Khi đó hệ PT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)
Có: \(a^4+b^4=81\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)
Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$
$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$
Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$
Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại
Vậy......
Bài 2:
ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$
Nếu $(a,b)=(2,1)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)
$y=1\rightarrow x=3$
$y=-1\rightarrow y=5$
Nếu $(a,b)=(1,2)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)
\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)
Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$
Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$
Vậy...........
ĐKXĐ: ...
\(\sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\left(\sqrt{x}-1\right)+y\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{x+2}=\sqrt{\left(y+1\right)^2+2}+y+1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\\y+1=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+\sqrt{a^2+2}=b+\sqrt{b^2+2}\)
\(\Leftrightarrow a-b+\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\\sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+a+b=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=y+1\)
Thay vào pt đầu:
\(y^2-5\left(y+1\right)+5=0\Rightarrow...\)
1,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\\\sqrt{2x}+\sqrt{y+1}=2\left(\circledast\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=2y\) Thay vào \(\left(\circledast\right)\) , ta có :
\(\sqrt{4y}+\sqrt{y+1}=2\)
\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{y}=\sqrt{y+1}\)\(\Leftrightarrow3y-8\sqrt{y}+3=0\)
Giải pt thu được (x;y)
Th2:x=-y thay vào \(\left(\circledast\right)\), ta có
\(\sqrt{-2x}+\sqrt{y+1}=2\)
Xét đk ta thấy:\(y\le0;y\ge-1\)(vô nghiệm)
Vậy ....
2,\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\\\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-y-1\right)\left(x+y^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=-y^2\end{matrix}\right.\)
Th1:\(x=y+1\)
Thay vào ta có:\(\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=1\)\(\Leftrightarrow y=0\)
Th2:\(x=-y^2\)thay vào ta có:
\(\sqrt{-y^2}+\sqrt{y+1}=2\)
vì \(-y^2\le0\) mà nhận thấy y=0 ko là nghiệm của pt
\(\Rightarrow\)Pt vô nghiệm
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=a\\\frac{1}{\sqrt[3]{y}}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3=9\\\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\\left(a+b\right)\left(ab+a+b+1\right)=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\ab\left(a+b\right)+\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=9\\3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)=54\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)=63\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)+1=64\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)^3=4^3\)
\(\Leftrightarrow a+b+1=4\Rightarrow a+b=3\)
\(\Rightarrow3\left(ab+3+1\right)=18\Rightarrow ab=2\)
Theo Viet đảo; a và b là nghiệm:
\(t^2-3t+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;\frac{1}{8}\right);\left(\frac{1}{8};1\right)\)
