Question

[21.Như Nguyễn]

giải giúp mình bài này với mình đang cần gấp

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O,R). Hai đường cao AN và BM của tam giác ABC cắt nhau tại I

a Chứng minh tứ giác IMCN nội tiếp được một đường tròn

b chứng minh IA.IN=IM.IB

c tia BM cắt (O) tại H Chứng minh AI=AH

Answer 1

[Duy MC TV]

Giải thích các bước giải:

a) ΔABCΔABC có đường cao AN,BMAN,BM

⇒AN⊥BC;BM⊥AC⇒AN⊥BC;BM⊥AC

Xét tứ giác IMCNIMCN có:

ˆIMC=ˆINC=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)IMC^=INC^=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)

⇒ˆIMC+ˆINC=1800⇒IMC^+INC^=1800

⇒⇒ tứ giác IMCNIMCN nội tiếp

b) Xét ΔBINΔBIN và ΔAIMΔAIM có:

ˆBNI=ˆAMI=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)BNI^=AMI^=900(AN⊥BC;BM⊥AC;I∈AN;I∈BM)

ˆBIN=ˆAIMBIN^=AIM^ (đối đỉnh)

⇒⇒ ΔBIN∽ΔAIMΔBIN∽ΔAIM (g.g)

⇒IBIA=INIM⇒IA.IN=IM.IB⇒IBIA=INIM⇒IA.IN=IM.IB

c) Tứ giác IMCNIMCN nội tiếp

⇒ˆAIH=ˆNCM⇒AIH^=NCM^ hay ˆAIH=ˆACBAIH^=ACB^

Xét (O)(O) có: ˆACB=ˆAHBACB^=AHB^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ABAB)

⇒ˆAIH=ˆAHB⇒AIH^=AHB^

⇒ˆAIH=ˆAHI⇒ΔAIH⇒AIH^=AHI^⇒ΔAIH cân tại A⇒AI=AH