Question

[Nguyễn Minh Châu]

dự đoán kết quả của D = 1 mũ 3 + 2 mũ 3 + 3 mũ 3 + ... +  n mũ 3 biết n ∈ N*

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em chứng minh biểu thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

D = 1³ + 2³ + 3³ + ...+n³ (n \(\in\) N*)

D =   \(\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

Với n = 1 ta có: D = 1³= 1. D = \(\left(\dfrac{\left(1+1\right).1}{2}\right)^2\) = 1  (biểu thức đúng)

Giả sử biểu thức đúng với n = k; k \(\in\) N* tức:

1³ + 2³ + 3³ + ...+ k³ = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2}\right)^2\) (đúng với ∀ k \(\in\) N*)

Ta cấn chứng minh: biểu thức đúng với n = k + 1; k \(\in\) N*

Nghĩa là: CM 1³ + 2³ +...+ (k+1)³ = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)

Thật vậy với n = k + 1 ta có:

D = 1³ + 2³ + 3³ + ....+ (k+1)³  = (1³+ 2³ + 3³ + ...+ k³) + (k+1)³

D = ( \(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\))² + (k+1)³       =     (k+1)².(\(\dfrac{k^2}{4}\) + (k+1))

D = (k+1)².(\(\dfrac{k^2+4k+4}{4}\))        =      (k+1)². ( \(\dfrac{k+2}{2}\))²

D = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)^(đpcm) 

Vậy 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2^{ }}\right)^2\) (∀ n \(\in\)N*)