Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\) (x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)(vì x+y+z=2006)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2\right)\) (vì x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+xz+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
mà x+y+z=2006 nên
z=2006 hoặc x=2006 hoặc y=2006
=> đpcm
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
Gọi cái vế trái là P.
Áp dụng BĐT Cauchy Ta có
\(P.\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{\left(x+1\right).\frac{4}{3}}+\sqrt{\left(y+1\right).\frac{4}{3}}+\sqrt{\left(z+1\right).\frac{4}{3}}\)
\(\le\frac{x+1+\frac{4}{3}}{2}+\frac{y+1+\frac{4}{3}}{2}+\frac{z+1+\frac{4}{3}}{2}=\frac{x+y+z+7}{2}=\frac{8}{2}=4\)
Do đó \(P\le4:\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}< \frac{7}{2}\)
Giả sử cả ba số đều lớn hơn 1. Đặt x=a+1, y=b+1, z=c+1 (a,b,c >0) => xyz = (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 >1 vì a,b,c >0 => mâu thuẫn với giả thiết => giả sử sai => Có ít nhất một trong 3 số x, y, z không lớn hơn 1 (Q.E.D)
CMR a+2b+c >= 4(1-a)(1-b)(1-c) - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
bạn có thể giải giúp mình bài toán nay ko. giúp mình nha
