Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bg
C1: Ta có: n chia hết cho 11 dư 4 (n \(\inℕ\))
=> n = 11k + 4 (với k \(\inℕ\))
=> n2 = (11k)2 + 88k + 42
=> n2 = (11k)2 + 88k + 16
Vì (11k)2 \(⋮\)11, 88k \(⋮\)11 và 16 chia 11 dư 5
=> n2 chia 11 dư 5
=> ĐPCM
C2: Ta có: n = 13x + 7 (với x \(\inℕ\))
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 72 - 10
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39
Vì (13x)2 \(⋮\)13, 14.13x \(⋮\)13 và 39 chia 13 nên n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39 \(⋮\)13
=> n2 - 10 \(⋮\)13
=> ĐPCM
Xét \(a^6-1=\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)\)
Đặt \(a=7k⊥r\)với r=1;2;3. (vì a không là bội của 7)
Ta có \(a^3=\left(7k⊥r\right)^3=343k^3⊥147k^2r+21kr^2⊥r^3\)
Xét r với lần lượt các giá trị 1;2;3.
Từ đó ta suy ra được \(a^3=7l⊥1\)
Xét từng trường hợp trên ta suy ra \(\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)⋮7\)dẫn đến \(\left(a^6-1\right)⋮7\)
Vậy........
a) Ta có: ( 3 n - 1 ) 2 - 4 = (3n - 1 - 2)(3n - 1 + 2) = 3(n - l)(3n + 1).
Do 3(n - 1)(3n + l) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên ( 3 n - 1 ) 2 - 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n;
b) Ta có: 100 - ( 7 n + 3 ) 2 =(7 - 7n)(13 – 7n) = 7(1 - n)(13 -7n) chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.
Vì a ko chia hết cho 5
⇒ a có dạng 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4
Với a=5k+1 ⇒ a2=(5k+1)2=25k2+10k+1=5(5k2+2k)+1 dư 1
Với a=5k+2 ⇒ a2=(5k+2)2=25k2+20k+4=5(5k2+4k)+4 dư 4
Với a=5k+3 ⇒ a2=(5k+3)2=25k2+30k+9=5(5k2+6k+1)+4 dư 4
Với a=5k+4 ⇒ a2=(5k+4)2=25k2+40k+16=5(5k2+8k+3)+1 dư 1
Bài 1:
b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)
\(=4n^2-9-4n^2+36n\)
\(=36n-9⋮9\)
Lời giải:
Nếu $a$ là số tự nhiên không chia hết cho $5$ thì xét các TH sau:
+) \(a\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 5\)
+) \(a\equiv 2\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 4\pmod 5\)
+) \(a\equiv 3\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 9\equiv 4\pmod 5\)
+) \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)
Như vậy, khi a là số không chia hết cho $5$ thì \(a^2\equiv 1,4\pmod 5\)
----------------------------------------
Ta có:
\(M=a^4(a^4-1)+4(a^4-1)\)
\(M=(a^4-1)(a^4+4)\)
Nếu \(a^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)
Nếu \(a^2\equiv 4\pmod 5\) \(\Rightarrow a^4\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)
Vậy trong mọi TH thì \(M\vdots 25\) (*)
Mặt khác:
\(M=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)\)
Nếu a chẵn thì \(a^2-2a+2\vdots 2; a^2+2a+2\vdots 2\)
\(\Rightarrow M\vdots 4\)
Nếu a lẻ thì \(a-1\vdots 2; a+1\vdots 2\Rightarrow M\vdots 4\)
Vậy M luôn chia hết cho $4$ (**)
Từ (*) và (**) kết hợp với (25, 4) nguyên tố cùng nhau suy ra \(M\vdots 100\)