Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab
\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0
\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)
b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))
Vậy bđt đã đc chứng minh
a) a > b
⇒ 2a > 2b (nhân hai vế với 2 > 0)
⇒ 2a - 3 > 2b - 3 (cộng hai vế với -3)
b) a < b
⇒ -3a > -3b (nhân hai vế với -3 < 0)
⇒ -3a + 2 > -3b + 2 (1) (cộng hai vế với 2)
5 > 2
⇒ -3a + 5 > -3a + 2 (2) (cộng hai vế với -3a)
Từ (1) và (2) ⇒ -3a + 5 > -3b + 2
A)\(A^2+B^2\ge AB+AB\)
\(\Leftrightarrow\)\(A^2+B^2\ge2AB\)
\(\Leftrightarrow A^2-2AB+B^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A+B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy \(A^2+B^2\ge AB+AB\)(đpcm)
