![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4+4a^2b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2b^2\ge3ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)+6a^2b^2-3ab\left(a^2+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2-3ab\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2-3ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right]\ge0\) (luôn đúng)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này đơn giản thôi.
Đặt f(x) = 6x4 - 18x3 + 23x2 - 13x + 4 > 0
\(f\left(x\right)=\frac{47}{54}+\frac{1}{54}\left(18x^2-27x+13\right)^2+\frac{5}{6}x^2\)
Thao tác trên Maple (vào thống kê hỏi đáp xem ảnh)
Còn cách phân tích bằng tay thì qua VMF có bài viết của mình nói về điều này nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(a^4+1\ge a\left(a^2+1\right)\)\(\Leftrightarrow a^4+1\ge a^3+a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1-a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)
mà \(a^2+a+1=a^2+2a\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+1-\frac{1}{4}\)\(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}>0\right)\)
Vì \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi a ( Đó là điều hiển nhiên )
Vậy...................
Bài làm chỉ mang tính chất tượng trưng còn sai sót
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )
\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)
Nên (1) luôn đúng với mọi a;b
Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a 3 b 3 = a 3 3 . b 3 3 = a b 3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\ge2.\)(BĐT Cauchy)
Dấu "=" xra khi \(\sqrt{x^2+4}=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\Leftrightarrow x^2+4=1\left(vl\right)\)
Dấu "=" ko xra=>đpcm
Witch Rose: Dùng luôn AM-GM dưới mẫu cũng được mà.
\(\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}.1}\ge\frac{x^2+5}{\frac{x^2+5}{2}}=2\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(1=x^2+4\)( vô lý )
=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điều kiện là \(xy\ne0\)
BĐT tương đương:
\(\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-1\right)\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)