Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!
A
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)
\(x\sqrt{5-4x^2}\le\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+5}{2}\)
Khi đó
\(A\le3x+\frac{-3x^2+5}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}=\frac{-3\left(x-1\right)^2}{2}+4\le4\)
MaxA=4 khi \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\x^2=5-4x^2\\x=1\end{cases}\Rightarrow}x=1\)
B
Áp dụng BĐT cosi ta có :
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
=> \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(B\le\frac{xyz.\left(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xyz.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(xy+yz+xz\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Lại có \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\); \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
=> \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}.xyz\)
=> \(B\le\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)
\(MaxB=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)khi x=y=z
chứng minh $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
Thử nhé
Vì P là bất đẳng thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)
Thay vo P ta duoc \(P=4.\sqrt{2021}\)
----------------------------------------------------------
\(P=\sum\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}{z}\)
Cauchy-Schwarz:
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge z+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow P\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\ge\sum\dfrac{xz+yz+x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{z}=\sum x+y+\dfrac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\sum x+y+\dfrac{2xy}{z}\)
\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\)
Cauchy-Schwarz: \(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\ge\left(\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{zx}{y}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y}.\dfrac{xy}{z}}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge2(x+y+z)+2\left(x+y+z\right)=4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2021}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2021}}{3}\)
