K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
9 tháng 5 2021

Ta có: \(\left(x-y\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{1}{4}\left(x-y+1-xy\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(x+1\right)^2\left(1-y\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{\left(1+x\right)^2\left(1-y\right)^2}{4\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y^2-2y+1}{y^2+2y+1}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\right)\le\dfrac{1}{4}\)

\(P_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)

Lại có:

\(\left(y-x\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{1}{4}\left(y-x+1-xy\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(1+y\right)^2\left(1-x\right)^2\)

\(\Rightarrow-P\le\dfrac{\left(1+y\right)^2\left(1-x\right)^2}{4\left(1+y\right)^2\left(1+x\right)^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1-2x+x^2}{1+2x+x^2}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{4x}{x^2+2x+1}\right)\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-P\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow P\ge-\dfrac{1}{4}\)

\(P_{min}=-\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\)

(Do \(y\ge0\Rightarrow\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\ge0\Rightarrow1-\dfrac{4y}{y^2+2y+1}\le1\Rightarrow...\))

9 tháng 5 2021

em chỉ đợi mỗi anh thôi :33

3 tháng 1 2021

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge2xy\\\left(x+y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge-2xy\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge5xy\\2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge-3xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge5xy\\1\ge-3xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le\dfrac{1}{5}\)

Ta có:

P=\(2\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2+2+\left(x^2+y^2+2xy\right)\)

P= \(\dfrac{2\left(1-xy\right)^2}{4}-4\left(xy\right)^2+2+\left(\dfrac{1-xy}{2}+2xy\right)\)

=\(\dfrac{\left(xy\right)^2-2xy+1}{2}-4\left(xy\right)^2+2+\dfrac{3xy}{2}+\dfrac{1}{2}\)

Đặt t = xy => \(-\dfrac{1}{3}\le t\le\dfrac{1}{5}\)

Ta có : 

P= \(\dfrac{-7t^2}{2}+\dfrac{t}{2}+3=-\dfrac{7}{2}\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2+\dfrac{169}{56}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{14}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{14}\)

<=>\(-\dfrac{17}{42}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{9}{70}\)

=> 0\(\le\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2\le\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)

\(\dfrac{169}{56}\ge P\ge\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{2}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)

Max P= \(\dfrac{169}{56}\) => t = 1/14 => \(xy=\dfrac{1}{14}\rightarrow x^2+y^2=\dfrac{13}{14}\) => x,y=...

Min P=\(\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{6}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\) <=> \(t=xy=-\dfrac{1}{3}\)

<=> x=-y=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 

29 tháng 1 2019

\(x^4+y^4+\dfrac{1}{xy}=xy+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2=xy-\dfrac{1}{xy}+2-2x^2y^2\ge0\)

Đặt \(xy=a\)

\(\Rightarrow-2a^3+a^2+2a-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(1-2a\right)\ge0\)

Ta có a > 0

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(2a-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le a\le1\) \(\Rightarrow.......\)

1 tháng 4 2019

\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)

Nên phần còn lại vô nghiệm

17 tháng 4 2022

1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3

= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x  + 3

= 1-x/x + 2x/1-x + 3    >= 2√2 + 3

Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1

17 tháng 4 2022

2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)

=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y 

= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3

a^2+1 >= 2a              => a/a^2+1 <= 1/2

b^2+2 >= 2√2 b          => b/b^2+2 <= 1/2√2

c^2+3 >= 2√3 c            => c/c^2+3 <= 1/2√3

=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3

Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3

<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3

<=> x=4, y=6, z=2

NV
9 tháng 4 2021

\(P=\dfrac{4x^2+2xy-\left(x^2+y^2\right)}{2xy-2y^2+3\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}\)

Biểu thức này không tồn tại max mà chỉ tồn tại min

\(P=\dfrac{-2\left(3x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+6xy+y^2}{3x^2+2xy+y^2}=-2+\dfrac{\left(3x+y\right)^2}{2x^2+\left(x+y\right)^2}\ge-2\)

NV
8 tháng 4 2021

Bạn coi lại mẫu số