CM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
EC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2019
Nếu \(xy\le0\Rightarrow M\le0;\) nếu \(xy>0\Rightarrow M>0\Rightarrow\) GTLN nếu có của M sẽ xảy ra khi \(xy>0\)
Xét \(xy>0\Rightarrow xy+1>0\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0\)
\(x\ge xy+1\Leftrightarrow1\ge y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow\frac{y}{x}\le\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}\ge4\)
\(M=\frac{3xy}{x^2+y^2}=\frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}=\frac{3}{\frac{15}{16}.\frac{x}{y}+\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}}\le\frac{3}{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16yx}}}=\frac{12}{17}\)
\(\Rightarrow M_{max}=\frac{12}{17}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
HT
0
GL
1
AA
0
19 tháng 12 2021
Cho \(xy=1\)và \(x,y>0\)
Tìm \(M_{max}=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
\(M=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(M=\frac{x^4}{x^6+1}+\frac{y^3}{y^6+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(x^6+1\ge2x^3=>\frac{x^2}{x^6+1}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{y^6+1}\le\frac{1}{2}\)
\(=>M\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=y=1\)
13 tháng 3 2019
a, Sửa đề \(x+y+z\le2+xy\)
Áp dụng bđt Cô-si có :
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+2xy+y^2+1+z^2+1}{2}\)
\(=\frac{4+2xy}{2}\)
\(=2+xy\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
b,C/m tương tự câu a có \(x+y+z\le2+yz\)
\(x+y+z\le2zx\)
Ta có : \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
