K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
26 tháng 1 2022

Đặt \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)\)

BĐT trở thành: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{16ab}{a+b}\ge5\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3}{ab}+\dfrac{16ab}{a+b}-5\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)+16a^2b^2-5ab\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^4}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) (luôn đúng)

17 tháng 10 2017

\(VT=\left(xyz+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}\)

\(=yz+xz+xy+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}\)

\(=\left(yz+xz+xy\right)+\left(\dfrac{x^2}{xz}+\dfrac{z^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xy}\right)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\ge\left(yz+xz+xy\right)+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xz+yz+xy\right)}+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

(bđt Cauchy Shwarz dạng Engel)

\(\ge2\left(x+y+z\right)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

(bđt AM - GM)

\(=\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)+6\sqrt[6]{x\times y\times z\times\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{y}\times\dfrac{1}{z}}\)

\(=x+y+z+6=VP\left(\text{đ}pcm\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 3 2018

Lời giải:

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)

\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)

\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)

Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :

\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)

Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)

31 tháng 7 2018

Sai đề kìa.

Bạn tham khảo: Câu hỏi của Ngoc An Pham - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

23 tháng 12 2018

đề đúng đọ

23 tháng 10 2017

bài này em chưa học em mới lớp 7 à anh ơi