K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 11 2021

Ta có x2+y2 / x-y = x2-2xy+y2+2xy / x-y

                            = (x-y)2+2xy / x-y

Mà xy = 1 => 2xy = 2. Thay vào, ta có

(x-y)2+2xy / x-y = (x-y)2+2 / x-y = (x-y)2 / x-y + 2 / x-y

                                                  = x-y + 2 / x-y

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có

x-y + 2 / x-y ≥ 2.√(x-y).2 / x-y] = 2.√2 = (√2)3

Vậy Min A = (√2)3

NV
27 tháng 12 2020

\(A\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)

\(A\ge\dfrac{7\left(x+y\right)^2}{16xy}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{16xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2\left(x+y\right)}\)

\(A\ge\dfrac{7.4xy}{16xy}+3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)^2xy}{16.4.xy\left(x+y\right)^2}}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

24 tháng 11 2021

\(1,\) Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\text{ và }\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y\)

\(A=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\\ A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2+17=\dfrac{25}{2}+17=\dfrac{59}{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{1}{a}=b+\dfrac{1}{b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

24 tháng 11 2021

\(2,\text{Đặt }A=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(\dfrac{xy^2z}{xz}+\dfrac{xyz^2}{xy}+\dfrac{x^2yz}{yz}\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+6\)

Áp dụng Cosi: \(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}\ge2y^2\)

CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2z^2\\\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2x^2\end{matrix}\right.\)

Cộng VTV \(\Leftrightarrow A^2\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6=12\\ \Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

NV
27 tháng 12 2020

\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge\dfrac{3\left(xy+x+y\right)}{xy+x+y}=3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{8\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)

\(A\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{\left(x+y+1\right)^2\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=\dfrac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

28 tháng 12 2020

mk nghĩ nên đăt =t (t>=3). cho dễ làm

NV
24 tháng 3 2021

\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{4xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x^2+y^2\right)xy}{4xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3.2xy}{4xy}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

\(C=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)

\(C=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{8xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{8xy}-4\)

\(C\ge2\sqrt{\dfrac{18xy\left(x+y\right)^2}{8xy\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{5.4xy}{8xy}-4=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

24 tháng 3 2021

Thầy Lâm hộ em ạ .

24 tháng 5 2021

`P=1/(x^2+y^2)+1/(xy)+4xy`

`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+4xy+1/(4xy)+1/(4xy)`

Áp dụng bunhia dạng phân thức

`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4/(x+y)^2`

Mà `(x+y)^2<=1`

`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4`

Áp dụng cosi:

`4xy+1/(4xy)>=2`

`4xy<=(x+y)^2<=1`

`=>1/(4xy)>=1`

`=>P>=4+2+1=7`

Dấu "=" `<=>x=y=1/2`

24 tháng 5 2021

Cảm ơn ạ !

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{3}{x^2+y^2}+\frac{4}{xy}=3\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{5}{2xy}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}=4\)

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{5}{2xy}\geq 10\)

Do đó: \(A\geq 3.4+10\Leftrightarrow A\geq 22\)

Vậy \(A_{\min}=22\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

NV
18 tháng 3 2021

\(\dfrac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\dfrac{x\left(y+2\right)}{16}\ge\dfrac{x^2}{4}\) ; \(\dfrac{y^3}{4\left(x+2\right)}+\dfrac{y\left(x+2\right)}{16}\ge\dfrac{y^2}{4}\)

\(\Rightarrow Q+\dfrac{2xy+2x+2y}{16}\ge\dfrac{x^2+y^2}{4}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{8}\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)}{8}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(x+y-4\right)^2+7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{14\sqrt{xy}-16}{8}-\dfrac{1}{2}=1\)

\(Q_{min}=1\) khi \(x=y=2\)

2 tháng 11 2018

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:

\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=

\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)

Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

NV
12 tháng 8 2021

\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)

\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)

\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)

\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)

\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)