Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\le\frac{x}{2.\sqrt{x^4.y^2}}+\frac{y}{2.\sqrt{x^2y^4}}=\frac{x}{2.x^2y}+\frac{y}{2.x.y^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{2}{2xy}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=y^4\\x^4=y^2\end{cases}\Leftrightarrow x^2.x^4=y^2.y^4\Leftrightarrow x^6=y^6\Leftrightarrow}x=y=1\left(x,y>0\right)\)
Vậy \(A_{max}=1\Leftrightarrow x=y=1\)
Không biết bài này cô si ngược được không?
Dự đoán xảy ra cực trị tại x = y = 1
Cho x = 1 hoặc y = 1
Khi đó: \(A=\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Mà \(\frac{1}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT: \(A\ge\left(1+1\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\)\(\ge2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=1\)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(x^2+y^4\ge2xy^2\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy..........
\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^2+3y+1+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\)
\(P=-\left(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\right)\le-\frac{4}{-x-y}=-2\)
\(P_{max}=-2\) khi \(x=y=-1\)
Cho x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn xy=1, tìm gtln của \(\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
với x,y dương, áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4.y^2}=2x.xy=2x\left(xy=1\right)\Rightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
tương tự thì: \(\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2}\)
=> (gọi là A đi ): \(A\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow x=y=1\)
Cho \(xy=1\)và \(x,y>0\)
Tìm \(M_{max}=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)
\(M=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{y^2+\frac{1}{y^2}}\)
\(M=\frac{x^4}{x^6+1}+\frac{y^3}{y^6+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(x^6+1\ge2x^3=>\frac{x^2}{x^6+1}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{y^6+1}\le\frac{1}{2}\)
\(=>M\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=y=1\)
Đặt \(\left(x+1;y+1;z+4\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)-1}{ab}+\frac{c-4}{c}=\frac{ab-a-b}{ab}+\frac{c-4}{c}\)
\(A=2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le2-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=2-\frac{16}{6}=-\frac{2}{3}\)
\(A_{max}=-\frac{2}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2};3\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)\)
\(A=\frac{x^2y^2}{x^2.xy+y^4}+\frac{x^2y^2}{x^4+xy.y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\left(\frac{x}{y}\right)^3+1}+\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{x}{y}.\left[\left(\frac{x}{y}\right)^3+1\right]}\)
\(=\frac{t^2}{t^3+1}+\frac{t^2}{t\left(t^3+1\right)}\text{ }\left(t=\frac{x}{y}>0\right)\)
\(=\left(\frac{t^2+t}{t^3+1}-1\right)+1=-\frac{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)}{t^3+1}+1\le1\forall t>0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=1\Leftrightarrow x=y=1.\)
Vậy GTLN của A là 1.
Áp dụng Bđt Cô si :
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y=2x\left(xy=1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^4+y^2}\le\frac{1}{2x}\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{x^4+y^2}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\left(1\right)\)
\(x^2+y^4\ge2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2=2y\left(xy=1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2y}\Leftrightarrow\frac{y}{x^2+y^4}\le\frac{1}{2}\left(2\right)\)
Cộng theo vế của (1) và (2)
\(\Rightarrow A\le1\rightarrow Max_A=1\)
Dấu = khi x=y=1