K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 6 2021

\(x+y+2=4xy\Rightarrow x+y+2\le\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\ge0\) (do x+y+1>0 với mọi x,y>0)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\)

Có \(x+y+\dfrac{1}{x+y}=\left(x+y\right)+\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{3}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{x+y}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)

Dấu = xảy ra <=> x=y=1

Vậy GTNN của biểu thức là \(\dfrac{5}{2}\)

19 tháng 2 2022

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương, ta có:

\(\left[\left(x+y\right)+\dfrac{1}{x+y}\right]\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{1}{x+y}}=2\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{1}{x+y}\)

             \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=1\)

19 tháng 2 2022

2

5 tháng 6 2022

C1:

\(x,y>0\)

\(M=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)Theo BĐT AM-GM (Caushy) ta có:

\(M=\left(x^2+\dfrac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}.2\sqrt{\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{y^2}}+4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{xy}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}\ge5+\dfrac{15}{4}.\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=20\)Đẳng thức xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{1}{16}x^2\\y^2=\dfrac{1}{16}y^2\\x+y=1\\x,y>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinM=20\)

NV
23 tháng 8 2021

\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{3y}+3xy+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+12\left(xy+\dfrac{1}{9}\right)-2\)

\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+4\sqrt[4]{\dfrac{3x^2y}{27y}}+12.2\sqrt{\dfrac{xy}{9}}-2\)

\(P\ge4\sqrt{\dfrac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

31 tháng 5 2021

Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)\(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)

⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)\(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)

Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

 

 

31 tháng 5 2021

Không thỏa mãn điểm rơi kìa bạn

19 tháng 11 2021

Tham khảo: Giải toán trên mạng - Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học trực tuyến OLM