Question

[baulisemco]

Cho tam giác MAB cân tại M (và góc AMB < 900). Đường thẳng vuông
góc với MB tại B cắt tia MA tại N. Trên đoạn MN lấy điểm C sao cho NC=NB
a) Chứng minh rằng ABC=450
b) Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt BC tại D. Chứng minh AD = √2.MD
 

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có

\(\widehat{MBC}+\widehat{CBN}=\widehat{MBN}=90^o\)

Xét tg NBC có

NC=NB (gt) => tg NBC cân tại N \(\Rightarrow\widehat{CBN}=\widehat{BCN}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{CBN}=\widehat{MBC}+\widehat{BCN}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABN}+\widehat{ABM}=\widehat{MBN}=90^o\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ABN}+\widehat{ABM}=\widehat{ABN}+\widehat{BAM}=90^o\) (2)

Cộng 2 vế của (1) với (2) ta có

\(\widehat{MBC}+\widehat{BCN}+\widehat{ABN}+\widehat{BAM}=90^o+90^o=180^o\)

Xét tg ABC có

\(180^0-\widehat{ABC}=\left(\widehat{BCN}+\widehat{BAM}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{ABN}+180^o-\widehat{ABC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}+\widehat{ABN}=\widehat{ABC}\)

Mà 

\(\widehat{MBC}+\widehat{ABN}+\widehat{ABC}=\widehat{MBN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=90^o\Rightarrow\widehat{ABC}=45^o\)

b/

Từ N dựng đt vuông góc với BD ta có

tg NBC cân tại N (cmt) 

\(\Rightarrow\widehat{HNC}=\widehat{HNB}\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh) (3)

Xét tg vuông MCD có

\(\widehat{MDC}+\widehat{MCD}=90^o\)

Xét tg vuông HNC có

\(\widehat{HNC}+\widehat{HCN}=90^o\)

Mà \(\widehat{MCD}=\widehat{HCN}\) (góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{HNC}\) (4)

Ta có

\(NH\perp BD;NB\perp BM\Rightarrow\widehat{HNB}=\widehat{MBD}\) (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{MDC}=\widehat{MBD}\) => tg MBD cân tại M => MB=MD

Mà tg MAB cân => MB=MA

=> MD=MA => tg MAD vuông cân tại M

Xét tg vuông MAD có

\(AD=\sqrt{MD^2+MA^2}=\sqrt{MD^2+MD^2}=\sqrt{2}.MD\)