Question

[Tý Chuối]

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đói của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE

a) Chứng minh DE//BC

b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC chứng minh DM = EM

c) Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC

Answer 1

[Phan Gia Bình]

a, T.g ABC cân ở A => góc ABC=(180 độ - góc A) : 2 (1)

Do AB=AC(gt)

BD=CE(gt)

=> AB+BD=AC+CE

hay AD=AE

=>T.g ADE cân ở A => góc D = (180 độ - góc A) : 2 (2)

Từ 1 và 2 => góc ABC = góc D và 2 góc ở vị trí đồng vị nên BC//DE

b,Do t.g ABC cân ở A => góc B1 = góc C1

mà góc B1 = góc B2 ( đối đỉnh )

góc C1 = góc C2 (đối đỉnh)

=> góc B2 = góc C2

Xét t.g DMB và t.g ENC ( góc M = góc N = 90 độ )

góc B2 = góc C2 ( chứng minh trên )

BD=CE ( giả thuyết )

=> T.g DMB = T.g ENC ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> DM=EN ( 2 cạnh tương ứng )

c, Vì t.g DMB = t.g ENC (cmt)

=> BM=CN (hai cạnh tương ứng )

Ta có góc B1+ góc ABM = góc C1 + góc ACN = 180 độ

Mà góc B1 = góc C1 ( đã c/m )

=> góc ABM = góc ACN

Xét t.g ABM và t.g ACN có

AB=AC (gt)

góc ABM = góc ACN (cmt)

BM=CN (cmt )

=> t.g ABM = t.g ACN (c.g.c)

=> AM=AN (hai cạnh tương ứng )

Vậy t,g AMN cân tại A

d, Vì t.g ABM = t.g ACN (cmt )

=> góc HAB = góc KAC (hai góc tương ứng )

Xét t.g AHB và t.g AKC có ( góc AHB = góc AKC = 90 độ )

AB=AC (gt)

góc HAB = góc KAC (cmt )

=> t.g AHB = t.g AKC ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> AH=AK ( 2 cạnh tương ứng )

Xét t.g AHI và t.g AKI có ( góc AHI = góc AKI = 90 độ )

cạnh AI chung

AH=AK (cmt )

=> t.g AHI = t.g AKI ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> góc HAI = góc KAI ( 2 góc tương ứng )

=> AI là phân giác góc MAN (3)

Do góc HAI = góc KAI ( đã c/m )\

góc HAB = góc KAC (đã c/m)

=> góc HAI - góc HAB = góc KAI - góc KAC

Hay góc BAI = góc CAI

=> AI là phân giác góc BAC (4) \

Từ 3 và 4 => AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và MAN

Hình thì mik gửi ở dưới nhé

Bạn ơi nhớ tick cho mik nhé mik làm cực lắm :(

Answer 2

[Vũ Minh Tuấn]

a) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB+BD=AD\\AC+CE=AE\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(gt\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(AD=AE.\)

=> \(DE\) // \(BC.\)

b) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{MBD}\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{matrix}\right.\) (vì các góc đối đỉnh).

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}.\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BDM\) và \(CEN\) có:

\(\widehat{BMD}=\widehat{CNE}=90^0\left(gt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BDM=\Delta CEN\) (cạnh huyền - góc nhọn).

=> \(DM=EN\) (2 cạnh tương ứng).

c) Theo câu b) ta có \(\Delta BDM=\Delta CEN.\)

=> \(BM=CN\) (2 cạnh tương ứng).

+ Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù).

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(ACN\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(BM=CN\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)

=> \(AM=AN\) (2 cạnh tương ứng).

=> \(\Delta AMN\) cân tại \(A.\)

Chúc bạn học tốt!