Question

[VO TRAN HOANG LONG]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) vẽ đường tròn tâm O đường kính AC cắt BC tại H. Chứng minh AH vuông góc với BC và tính số đo góc BAH biết AB=6cm; BH=3,6 cm. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh tam giác MAO= tam giác MHO và 4 điểm M,A,O,H thuộc một đường tròn. Vẽ HQ vuông góc AC tại Q. Chứng minh AQ.AC/AB bình phương + QA.QC/HC bình phương=1

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Xét đường tròn (O) cóa đường kính AC và \(H\in\left(O\right)\) nên \(\widehat{AHC}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AH\perp BC\)tại H (đpcm)

Hiển nhiên \(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow\sin\widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{3,6}{6}=\frac{3}{5}\Rightarrow\widehat{BAH}\approx37^0\)

b) Vì M là trung điểm AB \(\Rightarrow\)HM là trung tuyến của \(\Delta ABH\)

Mà \(\Delta ABH\)vuông tại H nên \(HM=\frac{1}{2}AB\)(tính chất tam giác vuông)

Vì \(AM=\frac{1}{2}AB\)(M là trung điểm AB) \(\Rightarrow AM=HM\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)

Xét đường tròn (O) có A và H thuộc (O) nên OA = OH (vì cùng bằng bán kính của (O))

Xét \(\Delta MAO\)và \(\Delta MHO\)có OM chung; OH = OA(cmt) và AM = HM(cmt) 

\(\Rightarrow\Delta MAO=\Delta MHO\left(c.c.c\right)\)(đpcm thứ nhất)

\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{MHO}\),mà \(\widehat{MAO}=90^0\Rightarrow\widehat{MHO}=90^0\)

Xét tứ giác AOHM có \(\widehat{MAO}+\widehat{MHO}=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AOHM nội tiếp \(\Rightarrow\)4 điểm M,A,O,H cùng thuộc một đường tròn. (đpcm thứ hai)

c) Dễ thấy HQ//AB\(\left(\perp AC\right)\)\(\Rightarrow\frac{AC}{AB}=\frac{QC}{QH}\left(Talet\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AQ.AC}{AB^2}=\frac{AQ}{AB}.\frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AB}.\frac{QC}{QH}=\frac{AQ.QC}{AB.QH}\)(*)

\(\Delta ACH\)vuông tại H có đường cao HQ \(\Rightarrow QH^2=QA.QC\left(htl\right)\)

Thay vào (*), ta có: \(\frac{AQ.AC}{AB^2}=\frac{QA.QC}{AB.QH}=\frac{QH^2}{AB.QH}=\frac{QH}{AB}\)

Cũng theo đl Ta-lét thì: \(\frac{QH}{AB}=\frac{CH}{BC}\)\(\Rightarrow\frac{AQ.AC}{AB^2}=\frac{CH}{BC}\)(1)

Mặt khác \(\frac{QA.QC}{HC^2}=\frac{QH^2}{HC^2}=\left(\frac{QH}{HC}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)

\(\Rightarrow\frac{AQ.AC}{AB^2}+\frac{QA.QC}{HC^2}=\frac{CH}{BC}+\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{CH.BC}{BC^2}+\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{CH.BC+AB^2}{BC^2}\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow CH.BC=AC^2\)

\(\Rightarrow\frac{AQ.AC}{AB^2}+\frac{QA.QC}{HC^2}=\frac{AC^2+AB^2}{BC^2}=1\left(đpcm\right)\)