Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MI})\)
\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MI}\)
\(=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AM}.\frac{-\overrightarrow{AM}}{2}+\frac{\overrightarrow{BC}}{2}.\overrightarrow{BC}=\frac{BC^2-AM^2}{2}\)
\(=\frac{BC^2-(\frac{\sqrt{3}}{2}BC)^2}{2}=\frac{BC^2}{8}=\frac{9a^2}{8}\)
ΔABC đều có BM là đường trung tuyến
nên BM là phân giác của góc ABC và BM\(\perp\)AC
BM là phân giác của góc ABC
=>\(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=30^0\)
M là trung điểm của AC
=>\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}\)
ΔAMB vuông tại M
=>\(AM^2+BM^2=AB^2\)
=>\(BM^2=AB^2-AM^2=a^2-\left(0,5a\right)^2=0,75a^2\)
=>\(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Gọi K là trung điểm của AM
=>\(KA=KM=\dfrac{AM}{2}=0,25a\)
ΔBMK vuông tại M
=>\(BM^2+MK^2=BK^2\)
=>\(BK^2=\left(0,25a\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{13}{16}a^2\)
=>\(BK=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}\)
Xét ΔBAM có BK là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}=2\cdot\overrightarrow{BK}\)
=>\(\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}\right|=2\cdot BK=2\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{4}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)
\(\left|\overrightarrow{CH}+\overrightarrow{CH}\right|=a\)
a) Do tam giác ABC là tam giác đều nên 
.
Theo định lý côsin trong tam giác ABM ta có:
b) Theo định lý sin trong tam giác ABM ta có:
c) Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 - 2 = 4 cm.
Gọi D là trung điểm AM.
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=3\sqrt{5}\\DM=\sqrt{CD^2+CM^2}=3\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) tam giác ADM cân tại M
Gọi F là trung điểm AD \(\Rightarrow ABMF\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow MF=AB=6\)
Theo tính chất trọng tâm: \(GF=\dfrac{1}{3}MF=2\)
\(DF=\dfrac{1}{2}AD=3\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{GD}\right|=\left|\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FD}\right|\)
\(\Rightarrow T^2=GF^2+FD^2+2\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{DF}=GF^2+DF^2=2^2+3^2=13\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{GD}\right|=\sqrt{13}\)
\(\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)