Question

[Jess Nguyen]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của △ABC. Chứng minh rằng: KH.KA ≤ \(\dfrac{BC^2}{4}\)

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

-Sửa đề: Đoạn BC không đổi.

-BH cắt AC tại D.

-Xét △ABC có:

H là trực tâm, AK là đường cao.

\(\Rightarrow\)H∈AK, BH là đường cao.

Mà BH cắt AC tại D (gt)

\(\Rightarrow\)BH⊥AC tại D.

-Xét △HBK và △HAD có:

\(\widehat{BKH}=\widehat{HDA}=90^0\)

\(\widehat{BHK}=\widehat{AHD}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)△HBK∼△HAD (g-g).

-Xét △HBK và △CAK có:

\(\widehat{HKB}=\widehat{CKA}=90^0\)

\(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\)(△HBK∼△HAD)

\(\Rightarrow\)△HBK∼△CAK (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KB}{KA}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)

-Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)

\(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow KB.KC\le\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MC+MK\right)\le MB^2\) (do cách dựng hình)

\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MB+MK\right)\le MB^2\)

\(\Leftrightarrow MB^2-MK^2\le MB^2\) (luôn đúng do MK>0)

-Vậy \(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\) . Dấu bằng xảy ra khi △ABC cân tại A.