Question

[Pham Trong Bach]

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G. Chứng minh:

a) S_AGP = S_PGB = S_BGM = S_MGC = S_CGN = S_NGA;

b) Các tam giác GAB, GBC và GCA có diện tích bằng nhau

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

a) Tam giác AGP và PGB có chung đường cao hạ từ đỉnh G và AP = PB nên S_AGP = S_PGB

Tương tự, ta có: S_BGM = S_MGC và S_CGN = S_NGA.

Vì G là trọng tâm DABC Þ AG = 2GM.

Þ S_BGM = 1 2 S_ABG Þ S_BGM = S_AGP = S_PGB.

Chứng minh tương tự, ta suy ra được:

S_AGP = S_PGB = S_BGM = S_MGC = S_CGN = S_NGA

b) Sử dụng kết quả câu a) ta có diện tích mỗi tam giác bằng 1 6  S_ABC, từ đó suy ra ĐPCM.