Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(b,\) Ta có:
\(\dfrac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}-\dfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
Thay:
\(n=2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(n=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(...\)
\(n=2007\Leftrightarrow\dfrac{1}{2007\sqrt{2006}+2006\sqrt{2007}}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}}-\dfrac{1}{\sqrt{2007}}\\ \)
a, (Phần a đề bài phải là \(\left(1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\right)^2\) mới đúng).
Nếu như vậy phần a ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức:
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab - 2ac - 2bc rồi khai triển vế trái.
b) Sau khi kahi triển hằng đẳng thức và chứng minh được công thức ở phần a, ta sẽ áp dụng vào phần b rồi tính.
\(ĐK:\left\{{}\begin{matrix}x-2008\ge0\\2008-x\ge0\\x-2007>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2008\)
Vậy PT có nghiệm \(x=2008\)
\(Q=\sqrt{1+2006^2+\left(\dfrac{2006}{2007}\right)^2}+\dfrac{2006}{2007}\)
=\(1+2006+\dfrac{2006}{2007}+\dfrac{2006}{2007}\)
=\(2007+\dfrac{4012}{2007}\)
=\(\dfrac{2007^2}{2007}+4012\)
=\(\dfrac{4028049}{2007}+\dfrac{4012}{2007}\)
=\(\dfrac{4032061}{2007}\)
\(Q=\sqrt{1+2006^2+\dfrac{2006^2}{2007^2}}+\dfrac{2006}{2007}\)
\(=1+2006+\dfrac{2006}{2007}+\dfrac{2006}{2007}\)
\(=\dfrac{4032061}{2007}\)
Mình chỉ viết CT tổng quát thôi nha rồi bạn tự thay vào
a, \(\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)+n\sqrt{n+1} }=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)( }\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{\sqrt{n}\sqrt{n+1} } =\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } \)
b,\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1} }=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{1}= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)
\(ĐKXĐ:a\ne1;a\ge0;\)
\(B=\left(1+\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1}\right)\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}:\left[\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(a+1\right)-\left(a+1\right)}\right]\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}:\left[\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+1\right)}\right]\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}:\left[\dfrac{a+1-2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+1\right)}\right]\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}:\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+1\right)}\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}:\dfrac{\sqrt{a}-1}{a+1}\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{a+1}.\dfrac{a+1}{\sqrt{a}-1}\)
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)
b.
\(B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}>1\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-1>0\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{a+1+\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}>0\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{a+2}{\sqrt{a}-1}>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+2>0\\\sqrt{a}-1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a+2< 0\\\sqrt{a}-1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a>1\\a< -2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a>1\)
c.
\(a=2007-2\sqrt{2006}=2006-2\sqrt{2006}+1=\left(\sqrt{2006}-1\right)^2\)Thay \(a\) vào ta được:
\(B=\dfrac{2007-2\sqrt{2006}+1+\sqrt{\left(\sqrt{2006}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{2006}-1\right)^2}-1}\)
\(B=\dfrac{2007-2\sqrt{2006}+1+\sqrt{2006}-1}{\sqrt{2006}-1-1}\)
\(B=\dfrac{2007-\sqrt{2006}}{\sqrt{2006}-2}\)
\(B=\dfrac{\left(2007-\sqrt{2006}\right)\left(\sqrt{2006}+2\right)}{\left(\sqrt{2006}-2\right)\left(\sqrt{2006}+2\right)}\)
\(B=\dfrac{2007\sqrt{2006}+4014-2006-2\sqrt{2006}}{2006-4}\)
\(B=\dfrac{2005\sqrt{2006}+2008}{2002}\)
Áp dụng bđt \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\left(a\ne b;a,b>0\right)\)ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1.1998}}>\dfrac{2}{1+1998}=\dfrac{2}{1999}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2.1997}}>\dfrac{2}{2+1997}=\dfrac{2}{1999}\)
...
\(\dfrac{1}{\sqrt{1998.1}}>\dfrac{2}{1998+1}=\dfrac{2}{1999}\)
Cộng vế với vế ta được P > \(2.\dfrac{1998}{1999}\)
Sửa đề:
\(VP=\sqrt{1+2005^2+\dfrac{2005^2}{2006^2}}+\dfrac{2005}{2006}\)
Ta có: \(2005^2+1=\left(2005+1\right)^2-2.2005.1=2006^2-2.2005\)
\(\Rightarrow VP=\sqrt{2006^2-2.2005+\dfrac{2005^2}{2006^2}}+\dfrac{2005}{2006}\)
\(=\sqrt{\left(2006-\dfrac{2005}{2006}\right)^2}+\dfrac{2005}{2006}\)
\(=2006-\dfrac{2005}{2006}+\dfrac{2005}{2006}=2006\)
Phương trình đã cho tương đương
\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=2006\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=2006\)
\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=2006\)
Đến đây thì tự xét trường hợp và giải tìm nghiệm, bài này không cần điều kiện nhé
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1.2006}}>\dfrac{1}{\dfrac{1+2006}{2}}=\dfrac{2}{2007}\)
TT: \(\dfrac{1}{\sqrt{2.2005}}>\dfrac{2}{2007}\)
...
\(\dfrac{1}{\sqrt{2006.1}}>\dfrac{2}{2007}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(S>\dfrac{2}{2007}.2006\)
ko đc tag tên có đc lm ko