Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2-\left(3x^2-2x-1\right)m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)-\left(x-1\right)\left(3mx+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-\left(3m+2\right)x-m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-\left(3m+2\right)x-m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
(1) luôn có 2 nghiệm pb. Để pt có 3 nghiệm pb \(\Rightarrow1-\left(3m+2\right)-m-2\ne0\Rightarrow m\ne-\dfrac{3}{4}\)
TH1: \(x_3=1\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của (1)
\(\Rightarrow3m+2=2\Rightarrow m=0\) (thỏa mãn)
TH2: \(x_1=1\) và \(x_2;x_3\) là nghiệm của (1)
Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_2+x_3=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_3-1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2m+1\\x_3=m+1\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_2x_3=-m-2\)
\(\Rightarrow\left(2m+1\right)\left(m+1\right)=-m-2\)
\(\Rightarrow2m^2+4m+3=0\) (vô nghiệm)
Vậy \(m=0\)
TH1: \(m=2\)
\(pt\Leftrightarrow-4x+5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)
\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: \(m\ne2\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\2< m< 6\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;6\right)\)
Pt trùng phương chỉ có các trường hợp
- Vô nghiệm
- Có 2 nghiệm phân biệt
- Có 4 nghiệm phân biệt
- Có 2 nghiệm kép
- Có 3 nghiệm (trong đó 2 nghiệm pb và 1 nghiệm kép \(x=0\))
Không tồn tại trường hợp có 3 nghiệm pb
\(x^4-2mx^2+\left(2m-1\right)=0\left(1\right)\)
Đặt \(t=x^2\), pt trở thành:
\(t^2-2mt+\left(2m-1\right)=0\left(2\right)\)
Để pt(1) có 3 nghiệm thì pt(2) có 1 nghiệm dương khác 0 và 1 nghiệm bằng 0
\(\Leftrightarrow2m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t^2-t=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=1\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)
Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\)
Để pt có 2 nghiệm khác 0:
\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)\ge0\\x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ne\pm1\)
\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}>-\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+\frac{5}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2}{2x_1x_2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(\frac{m}{m-1}\right)^2+\frac{m+1}{m-1}}{\frac{2\left(m+1\right)}{m-1}}>0\Leftrightarrow\frac{\frac{8m^2}{m-1}+m+1}{2\left(m+1\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{9m^2-1}{2\left(m-1\right)\left(m+1\right)}>0\Leftrightarrow\frac{\left(3m-1\right)\left(3m+1\right)}{2\left(m-1\right)\left(m+1\right)}>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\-\frac{1}{3}< m< \frac{1}{3}\\m>1\end{matrix}\right.\)
1) \(x^2-2mx+m-2=0\) (1)
pt (1) có \(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\left(\forall m\right)\)
=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\frac{2m-4-2m}{\left(2m\right)^2-8m-16}\)
\(=\frac{-4}{4m^2-8m-16}=\frac{-4}{4\left(m-1\right)^2-20}\ge\frac{-4}{-20}=\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(m=1\)
xin 1slot sáng giải
Đề đúng là \(m^3-3m\) chứ bạn?
\(\Delta'=m^2-m^3-3m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\left(-m^2+m-3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow m\le0\) (do \(-m^2+m-3=-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{11}{4}< 0;\forall m\))
b/ \(x_1^2+x_2^2\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge8\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m^3+6m\ge8\)
\(\Leftrightarrow m^3-2m^2-3m+4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2-m-4\right)\le0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le\frac{1-\sqrt{17}}{2}\\1\le m\le\frac{1+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\frac{1-\sqrt{17}}{2}\)
PT có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\text{Δ}>0\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-4.\left(m+1\right)\left(m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)
Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Viét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{2m}{m+1}\\x_1.x_2=\dfrac{m-1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Mà theo GT thì ta có:
\(x_1^2+x_2^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-2m}{m+1}\right)^2-2.\dfrac{m-1}{m+1}=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+1}=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{m+1}\left[\dfrac{4m^2}{m+1}-2\left(m-1\right)\right]=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2+2}{m^2+2m+1}=5\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2=5m^2+10m+5\)
\(\Leftrightarrow3m^2+10m+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\)