Question

[Minh Bình]

Cho nửa(O), đường kính AB =2R. vẽ bán kính OC vuông góc với AB. M là 1 điểm chuyển động trên cung BC nhỏ, AM cắt OC tại P

a) Tìm vị trí điểm M để PO=PM. Tính diện tích AMB theo R

b) Tìm vị trí điểm M để MB=MP. Tính diện tích AMB theo R

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPM. Khi M chuyển động I chạy trên đường nào ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a.

AB là đường kính nên \(\widehat{AMB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Rightarrow M\) và O cùng nhìn BP dưới 1 góc vuông nên tứ giác OBMP nội tiếp

Mà \(PO=PM\Rightarrow\widehat{PBO}=\widehat{PBM}\)

\(\Rightarrow\Delta_VPBO=\Delta_VPBM\left(ch-gn\right)\) (có cạnh huyền PB chung)

\(\Rightarrow BM=OB=R\)

Vậy M nằm ở vị trí sao cho \(BM=R\) thì \(PO=PM\)

Áp dụng Pitago: \(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AM.BM=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

b.

\(MB=MP\Rightarrow\Delta MBP\) vuông cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{BPM}=45^0\)

Theo câu a ta có OBMP nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BOM}=\widehat{BPM}=45^0\) (cùng chắn BM)

\(\Rightarrow\widehat{BOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}\) \(\Rightarrow M\) là điểm chính giữa cung BC

Khi đó kẻ \(MH\perp AB\Rightarrow\Delta MOH\) vuông cân tại H (tam giác cân có góc đáy bằng 45 độ)

\(\Rightarrow MH=\dfrac{OM}{\sqrt{2}}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}MH.AB=R^2\sqrt{2}\)

c.

Qua P kẻ đường thẳng song song AB cắt BC tại D

\(\Rightarrow DP\perp CP\Rightarrow\Delta CPD\) nội tiếp đường tròn đường kính CD (1)

\(\widehat{MPD}=\widehat{MAB}\) (đồng vị), mà \(\widehat{MAB}=\widehat{MCB}\) (cùng chắn BM)

\(\Rightarrow\widehat{MPD}=\widehat{MCB}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác MCPD nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn MD) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) M,C,P cùng thuộc đường tròn đường kính CD

Hay tâm I của tam giác CPM nằm trên đường thẳng BC khi M di động trên cung BC

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]